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1、计算： ${(2 a b^{2})}^{3} \cdot {(- a^{2} b c)}^{2} =$ ．

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2、如果分式 $\frac{1}{x + 2}$ 有意义，那么 $x$ 的取值范围是．

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3、如图，点 $M$ 、 $N$ 是 $∠ A O B$ 的 $O A$ 边上的动点（ $O M < O N$ ）， $∠ A O B = 30 °$ ， $M N = 2$ ，若边 $O B$ 上有且只有1个点 $P$ ，满足 $△ P M N$ 是等腰三角形，则 $O M$ 的长度，有以下结论：① $O M = 2$ ；② $O M = 3$ ；③ $O M = 4$ ；④ $O M > 4$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①④ D、①②④

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4、已知 $2 x + 3 y - 1 = 0$ ，则 $4^{x} \cdot 8^{y}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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5、下列各式从左到右变形正确的是（）

A、 $\frac{a + 1}{b + 1} = \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a}{b} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$ C、 $\frac{6 a}{8 b} = \frac{3 a}{4 b}$ D、 $- \frac{a}{b} = \frac{- a}{- b}$

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6、下面各式因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} y - x y^{2} + x y = x y (x - y)$ B、 $x^{2} + y^{2} = (x + y) (x - y)$ C、 $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} = (2 x - y)^{2}$ D、 $x^{2} + x - 12 = (x + 3) (x - 4)$

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7、如果等腰三角形有一个角是 $40 °$ ，则它的顶角是（）

A、 $40 °$ B、 $100 °$ C、 $140 °$ D、 $40 °$ 或 $100 °$

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8、如图， $H M ∥ F G$ ， $E H = G N$ ，添加下列条件不能判定 $△ E F G ≌ △ N M H$ 的是（）

A、 $E F = N M$ B、 $F G = H M$ C、 $∠ F = ∠ M$ D、 $∠ E = ∠ N$

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9、下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a = a^{3}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{4}$ C、 $(2 a)^{3} = 6 a^{3}$ D、 $(a^{2})^{3} = a^{8}$

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为2，对于 $⊙ O$ 外的点 $P$ 和弦 $M N$ ，给出如下定义：若弦 $M N$ 上存在一点 $Q$ ，使 $P Q ⊥ M N$ ，则称点 $P$ 是弦 $M N$ 关于 $⊙ O$ 的关联点，如果点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，则称 $∠ C P Q$ 是弦 $M N$ 关于 $⊙ O$ 的“关联角”．

(1)、 $A (0, 2)$ ， $B (2, 0)$
① $P_{1} (3, 0)$ ， $P_{2} (- 2, - 2)$ ， $P_{3} (4, 2)$ 中，点是弦 $A B$ 关于 $⊙ O$ 的“关联点”；
②若 $∠ C P Q$ 是弦 $A B$ 关于 $⊙ O$ 的“关联角”， $P Q = 3 \sqrt{2}$ ，当 $∠ C P Q$ 最大时，则 $C P =$ ；

(2)、直线 $y = - x + b$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $E$ ， $F$ ，弦 $A B$ 关于 $⊙ O$ 的“关联角” $∠ C P Q = 60 °$ ，若线段 $E F$ 上存在“关联点 $P$ ”，直接写出 $b$ 的取值范围．

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11、已知，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A B C = a$ ，点 $D$ 是 $B C$ 上一点，将 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $180 ° - 2 α$ 得到 $A E$ ，过点 $E$ 作 $A C$ 的垂线，分别交 $C A$ 延长线于点 $F$ ， $B C$ 于点 $G$ ．

(1)、如图1，点 $D$ 与点 $C$ 重合，点 $G$ 与点 $B$ 重合，求证： $E F = B F$ ；

(2)、如图2，用等式表示 $B G$ 和 $C D$ 的数量关系，并证明．

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，在抛物线 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x (a \neq 0)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求抛物线的顶点坐标以及与 $y$ 轴交点坐标；

(2)、若对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{1} = - a$ ， $4 \leq x_{2} \leq 5$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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13、当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质．
小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为 $12 m m$ 的圆形液滴 $A$ ．小华将液滴 $A$ 的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离 $x$ （单位： $m m$ ）处的沉积厚度 $y_{A}$ （单位： $μ m$ ）满足函数： $y_{A} = - x^{2} + b x + c$ ；其中 $0 \leq x \leq 6$ ，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴 $A$ 边缘处，沉积厚度最大，为 $36 μ m$ ；

(1)、求液滴 $A$ 距离圆心 $2 m m$ 处的沉积厚度；

(2)、直径为 $16 m m$ 的圆形咖啡液滴 $B$ 的沉积厚度模型为： $y_{B} = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{16}{3} x$ （单位： $μ m$ ）其中 $0 \leq x \leq 8$ ．若沉积厚度超过 $16 μ m$ 的区域算作“明显咖啡环”，则液滴 $A$ 与液滴 $B$ “明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度） $d_{A}$ 与 $d_{B}$ 相比， $d_{A}$ $d_{B}$ （填“>”或“<”）．

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14、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $A B ⊥ C D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，延长 $D O$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $D B$ ，过点 $F$ 作 $⊙ O$ 的切线分别交 $D C$ ， $D B$ 延长线于点 $G$ ， $H$ ．

(1)、求证： $∠ C D B = ∠ H$ ；

(2)、若 $F H = 5$ ， $\frac{A E}{E O} = \frac{2}{3}$ ，求 $G H$ 的长．

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15、图1是某种手机支架，包括夹持杆以及支撑杆．某款手机恰好能够固定在该支架上，如图2所示（将手机看作一个矩形）．此时夹持杆两端 $A$ ， $B$ 以及支撑杆的底端 $C$ 在同一个圆 $O$ 上， $A B ∥ E F$ ，支撑杆另一端 $D$ 是 $A B$ 的中点，且 $C D ⊥ A B$ ， $A E = A B$ ．已知该手机的宽度为 $8 c m$ ，求圆 $O$ 的半径长．

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16、如图，在矩形 $A B C D$ 中，求作 $⊙ O$ ： $⊙ O$ 经过 $B$ ， $C$ 两点且与 $A D$ 边相切．小明的做法如下：
①作线段 $B C$ 的垂直平分线 $l_{1}$ ，交线段 $A D$ 于点 $E$ ；
②连接 $C E$ ，作线段 $C E$ 的垂直平分线 $l_{2}$ ，交 $l_{1}$ 于点 $O$ ；
③以点 $O$ 为圆心， $E O$ 长为半径作圆．
$⊙ O$ 即为所求作的圆．

(1)、根据小明的做法，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明：
证明：连接 $O B$ ， $O C$ ．
$∵ l_{1}$ 垂直平分 $B C$ ，
$∴ O B = O C$ ， $O E ⊥ B C$ ．
$∵$ 四边形 $A B C D$ 是矩形，
$∴ A D ∥ B C$ ．
$∴ O E ⊥ A D$ ．
$∵ O E$ 为 $⊙ O$ 半径，
$∴ ⊙ O$ 与 $A D$ 相切．（）（填推理的依据）
$∵ l_{2}$ 垂直平分线段 $C E$ ，
$∴ O C =$ ．
$∴ O B = O C = O E$ ．
$∴ ⊙ O$ 经过 $B$ ， $C$ 两点且与 $A D$ 边相切．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ， $A C = 12$ ，求 $B C$ 的长．

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18、如图，在矩形 $A B C D$ 中，E是边 $A B$ 的中点，连接 $D E$ 交对角线 $A C$ 于点F ，若 $A B = 4, A D = 3$ ，求 $C F$ 的长．

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19、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象和对称轴如图所示．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、该二次函数图象与 $x$ 轴正半轴的交点坐标为．

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20、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $c o s A = \frac{2}{3}$ ．求 $B C$ 长及 $s i n A$ 的值．

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