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1、如图1， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，P是 $B A$ 延长线上一点， $C A$ 是 $⊙ O$ 的弦，且 $∠ P C A = ∠ A B C$ ， E点在 $⊙ O$ 上，连接 $A E$ 和 $B E$ ．

(1)、求证： $P C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如图2，连接 $C E$ ，求证： $A C \cdot B E + C E \cdot A B = B C \cdot A E$

(3)、如图3，利用第（2）问的结论解决以下问题：
在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = 8 ， B C = 12$ ，点D在底边 $B C$ 上，且 $∠ D A C = ∠ A C D$ ，将三角形 $A C D$ 沿着 $A D$ 所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接 $E B$ ，求 $B E$ 的长．

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2、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是抛物线上的一个动点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、当点 $D$ 在直线 $B C$ 下方的抛物线上时，过点 $D$ 作 $y$ 轴的平行线交 $B C$ 于点 $E$ ，设点 $D$ 的横坐标为t， $D E$ 的长为 $l$ ，请写出 $l$ 关于 $t$ 的函数表达式，并写出自变量 $t$ 的取值范围；

(3)、连接 $A D$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，求 $\frac{S_{△ D E F}}{S_{△ A E F}}$ 的最大值．

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3、关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m + 2) x + (2 m - 1) = 0$ ，

(1)、求证：方程恒有两个不相等的实数根；

(2)、若此方程的一个根为3，求 $m$ 的值．

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 为 $△ A B C$ 内一动点，且满足 $C D = 4$ ，则 $A D + \frac{2}{3} B D$ 的最小值为．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $A B$ ， $B C$ 分别交于点D，E，连接 $A E$ ， $D E$ ．若 $∠ B E D = 50 °$ ， $A B = 2$ ，则阴影部分的面积为．

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6、如图1是太原漪汾桥实物图，桥拱可以近似看作抛物线，图2是其示意图，以桥面OA所在的直线为x轴，桥墩OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、桥墩 $O C = 4.5$ 米，跨度 $O A = 20$ 米，桥拱最高点到桥面的距离为4米．当桥拱上一点 $M$ 到直线 $O C$ 的距离是15米时，则点 $M$ 到地面 $C B$ 的距离是．

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7、如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，点 $B^{'}$ 恰好落在 $B C$ 上．若 $∠ B = 62 °$ ，则 $∠ C A C^{'}$ 的度数为．

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8、如图， $D$ 、 $E$ 分别在 $△ A B C$ 边 $A B$ 、 $A C$ 上，若 $D E ∥ B C$ ， $A D = 2 D B$ ， $D E = 4$ ，则 $B C$ 的长为．

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9、二次函数 $y = - 2 x^{2} + b x + 1$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，则 $b =$ ．

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10、如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形 $O A B C$ 为矩形，D、E分别在 $A B 、 B C$ 上，若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 过E、D两点，交 $O B$ 于点F．则下列说法正确的是（）

A、k越小， $D E$ 的长越小 B、当 $k = 1$ 时， $S_{△ O D E}$ 为定值 C、若矩形面积为16， $O F = 3 B F$ 时， $k = 9$ D、当 $O A B C$ 为边长1的正方形时， $D E$ 最小为 $\sqrt{2}$

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11、如图，点A是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 图象上一点，过点A作 $A B ⊥ y$ 轴于点D，且点D为线段 $A B$ 的中点．若点C为x轴上任意一点，且 $△ A B C$ 的面积为12，则求k的值为（）

A、 $- 12$ B、 $- 8$ C、 $- 6$ D、6

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12、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是弦，若 $∠ C D B = 32 °$ ，则 $∠ A B C$ 等于（）

A、 $68 °$ B、 $64 °$ C、 $58 °$ D、 $54 °$

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13、如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，点 $O$ 为位似中心，已知 $O A = A D$ ， $△ A B C$ 的面积为1，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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14、已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个实根，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2}$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、 $2$ D、 $4$

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15、一个不透明的布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，1个黑球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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16、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称为“三线合一”），如图1，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $A D ⊥ B C$ ， $B D = D C$ ．
【问题提出】在探索等腰三角形的判定方法时，老师提出：能否利用“三线合一”来探索其判定方法？
【初步尝试】（1）若三角形的一条边上的中线也是这条边上的高时，这个三角形是等腰三角形吗？如图1，在 $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 的中点，且 $A D ⊥ B C$ ，垂足为点D．求证： $A B = A C$ ．
【深入探索】（2）小明发现，若三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形还是等腰三角形．验证如下：
已知，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且点D是 $B C$ 的中点．求证： $A B = A C$ ．
小明提出了以下两种解题思路：
思路一：如图2，延长 $A D$ 到点E，使 $A D = D E$ ，连接 $C E$ ．
思路二：如图3，过点D分别作 $A B$ ， $A C$ 的垂线，垂足分别为E，F．
请你选其中一种思路，完成命题的证明．
【拓展延伸】（3）如图4，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 12$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点E为 $A C$ 中点， $A D$ 与 $B E$ 相交于点F，过点B作 $B H ⊥ A D$ 交 $A D$ 延长线于点H，设 $△ B F H$ ， $△ A E F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．若 $A B - A C = 4$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的值．

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18、数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ；如图2可以得到 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ．现用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
【探索发现】（1）请用两种不同的方法表示图3中阴影部分（小正方形）的面积；①________，②________；由此可得 ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， $a b$ 之间的等量关系________．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下列问题．
【知识迁移】已知 $x + y = 7$ ， $x y = 6$ ，求 $x - y$ 的值；
【拓展提升】正方形 $A B C D$ 与正方形 $A E F G$ 如图4摆放，边长分别为x，y，若 $x^{2} + y^{2} = 34$ ， $x y = 15$ ．求图中阴影部分的面积．

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19、如图1， $△ A B C$ 是温室屋架设计图的一部分，立柱 $A D ⊥ B C$ 于点D，斜梁 $A B = A C = 4 m$ ， $∠ B = 30 °$ ．如图2，保持 $B C$ 长度不变，延长斜梁 $B A$ 至E，使 $A E = 2 m$ ，立柱 $E F ⊥ B C$ 于点F，从而增大屋顶向阳面的面积．

(1)、求立柱 $A D$ ， $E F$ 的长；

(2)、求 $∠ B E C$ 的度数；

(3)、求证： $B C = 4 F C$ ．

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20、在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过 $△ A B C$ 的顶点A作直线l平行于 $△ A B C$ 的边 $B C$ ，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”这个结论．

(1)、如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边 $A B$ 上的任意一点P”，过点P分别作 $△ A B C$ 另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程．
已知，如图2，在 $△ A B C$ 中，点P是边 $A B$ 上的任意一点．求证： $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ ．

(2)、如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 $50 °$ 方向，B岛在A岛的北偏东 $80 °$ 方向，C岛在B岛的北偏西 $40 °$ 方向．从B岛看A，C两岛的视角 $∠ A B C$ 是多少度？从C岛看A，B两岛的视角 $∠ A C B$ 呢？

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