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1、 $(a, b, c)$ 表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组， $(a b, b c, c a)$ 表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、（ $a b^{2} c$ ， $b c^{2} a$ ， $c a^{2} b$ ）表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为 $T_{0} = a b c$ ，第1个数组的三个数之积为 $T_{1} = a b b c c a = a^{2} b^{2} c^{2}$ ，第n个数组的三个数之积为 $T_{n}$ （n为正整数）．
对于任意的正整数m ， n ，下列说法：
①若 $T_{n} = {(a b c)}^{k}$ ，则k可以是奇数，也可以是偶数；② $T_{n} \cdot T_{m} = T_{n + m}$ ；③ $T_{n}$ 的最小值是36；其中正确的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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2、已知 $M = 2 x + 3$ ， $N = 2 x + 1$ ，比较 $M$ 和 $N$ 的大小．先求 $M - N$ ，若 $M - N > 0$ ，则 $M > N$ ；若 $M - N < 0$ ，则 $M < N$ ；若 $M - N = 0$ ，则 $M = N$ ，反之亦成立．本题中因为 $M - N = 2 x + 3 - (2 x + 1) = 2 > 0$ ，所以 $M > N$ ．若 $M = (x - 3) (x - 4)$ ， $N = (x - 1) (x - 6)$ ，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系为（）

A、 $M > N$ B、 $M = N$ C、 $M < N$ D、由 $x$ 的取值而定

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3、观察各式： $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ； $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ； $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ；…根据以上规律计算： $- 2^{2025} + 2^{2024} - 2^{2023} + 2^{2022} - 2^{2021} + . . . + 2^{4} - 2^{3} + 2^{2} - 2 + 1$ 的值是（　　）

A、 $\frac{- 2^{2025} + 1}{3}$ B、 $\frac{- 2^{2026} + 1}{3}$ C、 $- 2^{2026} - 1$ D、 $- 2^{2025} + 1$

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4、若计算 $(x^{2} + a x + 5) \cdot (- 2 x) - 6 x^{2}$ 的结果中不含 $x^{2}$ 项，则常数 $a$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $0$ D、 $3$

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5、已知 $(a^{m + 1} b^{n + 2}) (a^{2} b^{2}) = a^{5} b^{6}$ ，则 $m + n$ 的值为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、在“单项式与多项式相乘”的课堂上，有这样一道题： $(x + 3 y) \cdot (- 6 x) = x \cdot (- 6 x) □ 3 y \cdot 6 x$ ，则“□”内应填（　　）

A、+ B、 $-$ C、× D、÷

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7、 $(- 5 a + 4 b)$ （） $= 25 a^{2} - 16 b^{2}$ ，括号内应填（）

A、 $5 a + 4 b$ B、 $5 a - 4 b$ C、 $- 5 a - 4 b$ D、 $- 5 a + 4 b$

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8、已知 $x^{2} + 16 x + k^{2}$ 是完全平方式，则常数k等于（　　）

A、8 B、 $- 8$ C、16 D、8或 $- 8$

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9、下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）

A、 $(a + b) (b + a)$ B、 $(- a + b) (a + b)$ C、 $(\frac{1}{3} a - b) (b - \frac{1}{3} a)$ D、 $(a^{2} - b) (b^{2} - a)$

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10、计算： $(- 3 x^{2} y) \cdot \frac{1}{3} x y^{3} =$ （）

A、 $- x^{3} y^{4}$ B、 $x^{3} y^{4}$ C、 $- x^{3} y^{3}$ D、 $x^{3} y^{3}$

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11、计算：

(1)、 $\sqrt{18} \times \sqrt{2} =$ .

(2)、 $\sqrt{3} \times \sqrt{24} =$

(3)、 $\sqrt{\frac{6}{5}} \times \sqrt{\frac{2}{15}} =$ .

(4)、 $\sqrt{\frac{5}{3}} \times \sqrt{6} =$ .

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12、据研究，高空抛物下落的时间 $t$ （单位：s）和高度 $h$ （单位：m）近似满足公式： $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} (g \approx 10 m / s^{2})$ ，从60m高空抛物到落地的时间为s.

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13、三角形的三边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - (\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})^{2}]}$ .现已知△ABC三边长为1， $\sqrt{5}$ ， 3．则△ABC的面积为．

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14、对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：
$a \oplus b = \frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{a - b}}$ ，如 $3 \oplus 2 = \frac{\sqrt{3 + 2}}{\sqrt{3 - 2}} = \sqrt{5}$ ．

(1)、填空， $5 \oplus 4 =$ ．

(2)、若 $12 \oplus 4 = \sqrt{3} x$ ，则x= ．

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15、高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间 $t$ （单位： $s$ ）和高度 $h$ （单位： $m$ ）近似满足公式 $t = \sqrt{\frac{h}{5}}$ （不考虑风速的影响）．记从 $25 m$ 高空抛物到落地所需时间为 $t_{1}$ ，从 $50 m$ 高空抛物到落地所需时间为 $t_{2}$ ，则 $\frac{t_{2}}{t_{1}}$ 的值为（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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16、

(1)、若实数 $m 、 n$ 满足等式 $|m - 2| + \sqrt{n - 4} = 0$ ，求 $\sqrt[3]{2 m + n}$ 的值；

(2)、 $y = \sqrt{x - 24} + \sqrt{24 - x} - 8$ 已知，求 $x + y$ 的平方根．

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17、下列的式子一定是二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{x + 1}$ B、 $\sqrt{3 - π}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{- 1}$

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18、要使二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，请写出一个满足条件的整数 $x$ 的值：．

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19、二次根式 $\sqrt{\frac{1}{3 + x}}$ 中字母 $x$ 的取值范围为（）

A、 $x \neq - 3$ B、 $x > - 3$ C、 $x \geq - 3$ D、 $x < - 3$

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20、已知二次根式 $\sqrt{3 - \frac{1}{2} x}$ ．

(1)、求 $x$ 的取值范围．

(2)、当 $x = - 2$ 时，求二次根式 $\sqrt{3 - \frac{1}{2} x}$ 的值．

(3)、若二次根式 $\sqrt{3 - \frac{1}{2} x}$ 的值为零，求 $x$ 的值．

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