相关试卷

1、解答以下问题

(1)、观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征：
① $1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1 = 5^{2}$
② $2 \times 3 \times 4 \times 5 + 1 = 11^{2}$
③ $3 \times 4 \times 5 \times 6 + 1 = 19^{2}$
④ $4 \times 5 \times 6 \times 7 + 1 =$               ．

(2)、思考探究：设n为正整数，
①第n个算式为 $n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 =$               ．
②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方．
小明的部分证明过程如下：
证明：原式 $= [n (n + 3)] [(n + 1) (n + 2)] + 1$
$= (n^{2} + 3 n) (n^{2} + 3 n + 2) + 1$
设 $M = n^{2} + 3 n$ ，则原式 $= M (M + 2) + 1 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
小明证明过程中用了             思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整．

(3)、拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于 $109^{2}$ ，求四个正整数中最小的整数．

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2、矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，点E为 $B C$ 边一点， $D E$ 交 $A C$ 于点F， $∠ A F D = 2 ∠ D A F$ ，连接 $B F$ ．

(1)、求证： $△ D O F$ 为等腰三角形．

(2)、若F是 $O C$ 中点， $A C = 5$ ， $A D = 4$ ，求 $B F$ 的长．

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3、随着人工智能的快速发展，初中生使用 $AI$ 大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某中学为了解本校学生日常使用 $AI$ 大模型辅助学习次数的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按每周使用次数（x次）分为四组（A： $x < 15$ ；B： $15 \leq x < 20$ ；C： $20 \leq x < 25$ ；D： $x \geq 25$ ），根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题

(1)、本次抽取的学生人数为人，扇形统计图中 $m =$ ．

(2)、求D组的人数，并补全条形统计图．

(3)、若该校共有1200名学生，估计全校每周使用 $AI$ 学习20次及以上的学生约有多少人．

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4、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 5 x - 2 > 3 (x + 1) ① \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2} x ② \end{array}$

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5、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，点 $E$ 为边 $C D$ 上一点，且 $C E = 2 D E$ ，连接 $B E$ ．若点 $G$ 为点 $D$ 关于 $B E$ 的对称点，连接 $D G$ 并延长交 $B C$ 延长线于点 $F$ ，连接 $B G$ ，则 $F G =$ ．

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6、假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积 $V = \frac{1}{3} S h$ ，其中 $S ({cm}^{2})$ 表示圆锥的底面积， $h (cm)$ 表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为 $\sqrt{\frac{30}{π}} cm$ ，高线长为 $10 cm$ ．当高线长限定为 $50 \leq h < 100$ 时，底面积的取值范围为．

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7、如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为．

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8、如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $∠ O A B = 50 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数是．

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9、已知 $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 3 \end{cases}$ 是方程 $2 x - m y = 2$ 的一个解，那么m的值是．

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10、已知点 $A (m, y_{1})$ 在直线 $l_{1}$ ： $y = k x + k$ 上，点 $B (m - 1, y_{2})$ 在直线 $l_{2}$ ： $y = - k x - k$ 上．下列结论正确的是（）

A、若 $k > 0$ 时， $0 < y_{2} < y_{1}$ ，则 $m > - \frac{1}{2}$ B、若 $k > 0$ 时， $0 < y_{2} < y_{1}$ ，则 $m < 0$ C、若 $k < 0$ 时， $y_{2} < y_{1} < 0$ ，则 $- 1 < m < - \frac{1}{2}$ D、若 $k < 0$ 时， $y_{2} < y_{1} < 0$ ，则 $- \frac{1}{2} < m < 0$

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11、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A C > A B$ ．利用直尺和圆规作图：
①以点 $B$ 为圆心，适当长为半径作弧，交 $B A$ 于 $M$ ，交 $B C$ 于 $N$ ；②分别以点 $M$ 、 $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径作弧，两弧相交于点 $F$ ，作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G$ ；③分别以点 $A$ 、 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧相交于点 $D$ ， $E$ 两点，连接 $D E$ ，交 $B F$ 于点 $P$ ，交 $B C$ 于点 $H$ ，连接 $A P$ ， $C P$ ．下列判断错误的是（）

A、 $∠ A B P = 30 °$ B、 $P A = P C$ C、若 $A P ∥ B C$ ，则四边形 $A B H P$ 是菱形 D、 $∠ B A P = 90 ° + ∠ P C A$

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12、某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了 $25 %$ ．因此，按照原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟．如果设原收费标准下每分钟收费x元，则根据题意可列出方程（）

A、 $\frac{6}{25 % x} - \frac{6}{x} = 10$ B、 $\frac{6}{(1 - 25 %) x} - \frac{6}{x} = 10$ C、 $\frac{6}{x} - \frac{6}{25 % x} = 10$ D、 $\frac{6}{x} - \frac{6}{(1 - 25 %) x} = 10$

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13、设 $a$ ， $b$ ， $c$ 是互不相等的实数，且 $\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} c = b$ ，下列式子正确的是( )

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a - c = 3 (a - b)$ D、 $a - c = 4 (a - b)$

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14、如图， $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ C B A = 120 °$ ．将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $110 °$ 得到 $△ A D E$ ，点B、C的对应点分别为点D、E．那么 $∠ C A D$ 的度数为（）

A、 $70 °$ B、 $80 °$ C、 $90 °$ D、 $100 °$

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15、如图，将纸带沿 $A B$ 折叠，下列能判定纸带的两条边线m，n互相平行的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 4$ B、 $∠ 1 = ∠ 3$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ D、 $∠ 2 = ∠ 4$

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16、某市人工智能领域融资总额高达 $103.9$ 亿元，覆盖大模型、具身智能、 $AI$ 算力、行业应用等全产业链． $103.9$ 亿用科学记数法可以表示为（）

A、 $103.9 \times 10^{8}$ B、 $1.039 \times 10^{9}$ C、 $1.039 \times 10^{10}$ D、 $0.1039 \times 10^{11}$

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17、如图，从某个立方体上挖去一个小立方体（边长是大立方体的一半），得到的几何体如图所示，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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18、小明准备去东北雪乡旅游，出发前了解东北城市的当日最高温度如右表，其中温度最高的城市是（）
城市
沈阳
长春
哈尔滨
大连
温度
$- 10 ℃$
$- 12 ℃$
$- 15 ℃$
$- 8 ℃$

A、沈阳 B、长春 C、哈尔滨 D、大连

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19、在 $▵ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ．

(1)、【观察与发现】如图 $1$ ，将线段 $A C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A D$ ，点 $D$ 与点 $C$ 是对应点．点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $A E = C F$ ，连接 $D E$ ， $D F .$ 求证： $D E = D F$ ．

(2)、【思考与探究】如图 $2$ ，过点 $A$ 作 $A H ⊥ A C$ 交 $B C$ 于点 $H .$ 点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $C F = 2 A E$ ，连接 $E F$ ， $H E$ ， $H F .$ 猜想线段 $E F$ 与 $H E$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、【拓展与延伸】如图 $3$ ，在 $(2)$ 的条件下，延长 $F E$ 至点 $G$ ，使 $E G = F E$ ，连接 $G A$ ， $G H .$ 若 $A B = 6$ ， $A G = 2 \sqrt{7}$ ，求线段 $A E$ 的长度．

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20、“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景 $($ 如图 $1) .$ 甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分 $($ 以下“花枪”均指花枪的中点 $)$ ．

(1)、如图 $2$ ，甲站在地面的 $O$ 点处，从距离地面 $\frac{1}{2} m$ 高的 $A$ 点踢出花枪， $A$ 点与 $O$ 点的水平距离 $O B$ 是 $\frac{1}{2} m$ ，花枪飞行到与 $O$ 点水平距离 $3 m$ 的 $C$ 处达到最高，高度为 $3 m$ ．
$①$ 设花枪离地面的高度为 $y (m)$ ，到 $O$ 点的水平距离为 $x (m) .$ 请建立平面直角坐标系，并求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；
$②$ 花枪下落过程中，乙在与 $O$ 点水平距离 $d m$ 处接花枪，能接到的高度最大为 $\frac{21}{10} m$ ，最小为 $\frac{1}{2} m$ ，求 $d$ 的取值范围．

(2)、乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度 $h (m)$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系式是 $h = - 5 t^{2} + 7 t + \frac{8}{5} (t > 0)$ ，丙在距花枪落地点 $5 m$ 处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．

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城市	沈阳	长春	哈尔滨	大连
温度	$- 10 ℃$	$- 12 ℃$	$- 15 ℃$	$- 8 ℃$