相关试卷

1、数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长度为半径画弧，交于点 $P$ 和点 $Q$ ，连接 $P Q$ ，以点 $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，交 $P Q$ 于点 $C$ ；以原点 $O$ 为圆心， $O C$ 长为半径画弧，交数轴于点 $M$ ，则点 $M$ 对应的数是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、5 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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2、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与 $x$ 轴交于A， $B$ 两点（点A在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、作直线 $A C$ ， $P$ 是抛物线上第一象限内的一个动点．
①如图1，当 $∠ P A B = ∠ A C O$ 时，求点 $P$ 的横坐标；
②如图2，过点 $P$ 作 $P Q ∥ y$ 轴，交直线 $A C$ 于点 $Q$ ，作 $P M ⊥ P Q$ ，交抛物线于另一点 $M$ （点 $M$ 在点 $P$ 的右侧），以 $P Q$ ， $P M$ 为邻边构造矩形 $P Q N M$ ，求该矩形周长的最小值．

(2)、将线段 $A B$ 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段 $E F$ ，若抛物线 $y = a (- x^{2} + 2 x + 3)$ （ $a \neq 0$ ）与线段 $E F$ 只有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

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3、问题情景
如图 $1$ ， $△ A B C$ 与 $△ A E F$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ A B C = ∠ A E F = 90 °$ ，求证： $△ A B E ∽ △ A C F$ ；
问题迁移
如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，连接 $A E$ ，将 $A E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $120 °$ ，得到 $E F$ ，连接 $A F$ ， $F C$ ．
$①$ 求证： $C F ⊥ B C$ ；
$②$ 连接 $B F$ ，若 $B F = \sqrt{43}$ ， $B E = 3$ ，直接写出 $B C$ ， $A F$ 的长；
问题变式
如图 $3$ ，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，点 $E$ 是对角线 $B D$ （端点除外）上的动点，连接 $A E$ ，作菱形 $A E F G$ ，使 $∠ G A E = ∠ D A B$ ， $E F$ 交 $C D$ 于点 $P$ ，若 $\frac{A B}{B E} = k + 1 (k > 0)$ ，求 $\frac{P E}{P F}$ 的值（用含有 $k$ 的式子表示）．

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4、某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径 $A B = 6 cm$ ，杯底直径 $C D = 4 cm$ ，杯壁母线 $A C = B D = 6 cm$ ．请你解决下列问题：

(1)、小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧 $E F$ 的长为______ $cm$ ，弧 $M N$ 的长为______ $cm$ ；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧 $M N$ 所在圆的圆心 $O$ ，如图3所示．求弧 $M N$ 所在圆的半径 $r$ 及它所对的圆心角的度数 $n$ ．

(2)、小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．

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5、“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等．

(1)、甲种图书和乙种图书的价格各是多少？

(2)、根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？

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6、光从真空射入介质发生折射时，入射角 $α$ 的正弦值与折射角 $β$ 的正弦值的比值 $\frac{\sin α}{\sin β}$ 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．

(1)、若光从真空射入某介质，入射角为 $α$ ，折射角为 $β$ ，且 $\sin α = \frac{3}{4}$ ， $β = 30 °$ ，求折射率；

(2)、现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点 $A$ ， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形 $A_{1} D_{1} D_{2} A_{2}$ 对角线交点 $O$ 处射入，其折射光线恰好从点 $C$ 处射出，如图②，已知 $α = 60 °$ ， $C D = 10 \sqrt{6}$ ，求 $O D$ 的长．

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7、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
（1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，若AB=3，BC=1，求BD的长．

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8、因式分解： $9 a^{3} - a =$ ．

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9、如图，在正方形 $A B C D$ 中，先以点 $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，再以 $C D$ 为直径作半圆 $O$ ，交前弧于点 $E$ ，连接 $C E$ ， $D E$ ．若 $A B = 10$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{25}{2} π - 20$ B、 $25 π - 20$ C、 $\frac{25}{2} π - 18$ D、 $25 π - 18$

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10、利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在 $A$ 处测得建筑物 $C$ 在南偏西 $60 °$ 的方向上，在 $B$ 处测得建筑物 $C$ 在南偏西 $20 °$ 的方向上．在建筑物 $C$ 处测得A，B两处的视角 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $60 °$ D、 $80 °$

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11、下列运算正确的是（）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ B、 ${(- 2 a)}^{3} = - 6 a^{3}$ C、 $2 a b + a = 2 a^{2} b$ D、 $a^{3} b^{2} \div a^{2} b = a b$

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12、中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、下列四个数中，无理数是（）

A、0 B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- 2$ D、1

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14、如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 与一次函数 $y = m x + 1$ 的图象交于点 $A (2, 3)$ ，点B是反比例函数图象上一点， $B C ⊥ x$ 轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接 $A B$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = m x + 1$ 的表达式；

(2)、当 $O C = 4$ 时，求 $△ A B D$ 的面积．

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15、如图，平面直角坐标系中，已知点 $A (- 2, 3)$ ， $B (- 4, - 1)$ ， $C (2, 0)$ ，若点 $P (a, b)$ 是 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上任意一点， $△ A B C$ 经过平移后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点P的对应点为 $P_{1} (a + 5, b - 3)$ ．

(1)、画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三个顶点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标．

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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16、如图， $△ A B C$ 内接于⊙o，直径AE交BC于点 $D$ ，已知 $∠ 1 + ∠ 2 = 9 0^{°}$ 。

(1)、求证： $C D = C E$ 。

(2)、设 $∠ 1$ 的度数为x，求 $∠ B A E$ 的度数（用含x的代数式表示）。

(3)、若 $C A = C B$ ，求 $\frac{A D}{D E}$ 的值。

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17、已知x的二次函数 $y = x^{2} + 2 a x + 3 a$ 。

(1)、当函数图象经过点（2，5)时。
①求该二次函数的表达式。
②若将平面内一点A（m，n)向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数 $y = x^{2} + 2 a x - 3 a$ 的图象上，求m的值。

(2)、设点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 是该函数图象上的两点，且 $x_{1} + x_{2} = 3$ 。
求证： $y_{1} + y_{2} \geq \frac{9}{2}$ 。

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18、2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动。为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程s（km）关于时间（（h）的变化情况如图所示。

(1)、分别求出小丽和小明骑行的速度。

(2)、求线段BC所在直线的函数表达式。

(3)、求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程。

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19、如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD<BC。小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在BC上作点E，使得四边形ABED是矩形。
小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑。

(1)、请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明。

(2)、请判断小明作法是否正确，并说明理由。

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20、随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识。某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
“你最喜爱的学习辅助软件”调查问卷
问题：在以下五个软件中，你最喜爱的是____.
（A)作业帮（B)橙果错题集
（C)小猿搜题（D)豆包（E)DeepSeek
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图。

(2)、已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱DeepSeek软件的学生人数。

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