相关试卷

1、如图，在 $7 \times 7$ 的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点 $O$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，顶点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ，线段 $m$ 的对应线段为 $m^{'}$ ．

(1)、在图中标出点 $O$ ，并画出“L”形旋转后所得到的图形；

(2)、 $α =$ $°$ ；

(3)、在旋转过程中，点 $C$ 所经过的路径长为．

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2、已知：如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦．
求作： $⊙ O$ 上的点 $C$ ，使得 $∠ A B C = 45 °$ ．
作法：①连接 $A O$ 并延长交 $⊙ O$ 于 $P$ ；
②分别以点 $A$ ， $P$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A P$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $Q$ ；
③作直线 $O Q$ 交 $⊙ O$ 于点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ，连接 $B C_{1}$ ， $B C_{2}$ ．
所以，点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 就是所求作的点．

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明：
证明：连接 $A Q$ ， $P Q$ ．
$∵ A Q = P Q$ ， $A O = P O$ ，
$∴ O Q ⊥ A P$ （ ▲ ）（填推理的依据）．
$∴ ∠ A O C_{1} = ∠ A O C_{2} = 90 °$ ．
$∵ A$ ， $B$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 都在 $⊙ O$ 上，
$∴ ∠ A B C_{1} = \frac{1}{2} ∠ A O C_{1}$ ， $∠ A B C_{2} = \frac{1}{2} ∠ A O C_{2}$ （ ▲ ）（填推理的依据）．
$∴ ∠ A B C_{1} = ∠ A B C_{2} = 45 °$ ．

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3、如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是 $⊙ O$ 中弦 $A B$ 的中点，连接 $D O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点C，并且 $A B = 1 m$ ， $C D = 2.5 m$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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4、已知 $2 a^{2} - 3 a + 1 = 0$ ，求代数式 ${(a - 3)}^{2} + a (a + 3)$ 的值．

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5、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $△ A B C$ 内的一个动点，满足 $A C^{2} - A D^{2} = C D^{2}$ ．若 $A B = 2 \sqrt{13}$ ， $B C = 4$ ，则 $B D$ 长的最小值为．

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6、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 4$ ，点O在 $A B$ 上， $O B = 3$ ，以 $O B$ 为半径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 相切于点D，交 $B C$ 于点E，则弦 $B E$ 的长为．

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7、若关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} - 2 x + a^{2} - 1 = 0$ 有一个根为 $x = 0$ ，则a的值为．

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8、如图， $△ A B C$ 为等腰三角形， $O$ 是底边 $B C$ 的中点，若腰 $A B$ 与 $⊙ O$ 相切，则 $A C$ 与 $⊙ O$ 的位置关系为．（填“相交”、“相切”或“相离”）

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9、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点 $(2, y_{1})$ ， $(4, y_{2})$ 在抛物线 $y = 2 (x - 3)^{2} - 4$ 上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）．

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10、如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为2，点A，B在 $⊙ O$ 上，点C在 $⊙ O$ 内， $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ．
将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：
①当点C第一次落在 $⊙ O$ 上时，旋转角为 $30 °$ ；
②当 $A C$ 第一次与 $⊙ O$ 相切时，旋转角为 $60 °$ ．
则结论正确的是（）

A、① B、② C、①② D、均不正确

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11、“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用，已知半径为 $20 c m$ 的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（）

A、 $30 \sqrt{3} c m^{2}$ B、 $100 \sqrt{3} c m^{2}$ C、 $150 \sqrt{3} c m^{2}$ D、 $600 \sqrt{3} c m^{2}$

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12、如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径， $C$ ， $D$ 为圆上的点，若 $∠ C D B = 51 °$ ，则 $∠ C B A$ 的大小为（）

A、 $51 °$ B、 $49 °$ C、 $40 °$ D、 $39 °$

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13、阅读下面材料：
小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像 $x + y$ ， $x y z$ ， $x^{2} + y^{2}$ 等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式．
他还发现像 $x^{2} + y^{2}$ ， $(x - 1) (y - 1)$ 等交换对称式都可以用 $x + y$ ， $x y$ 表示．
例如： $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ ， $(x - 1) (y - 1) = x y - (x + y) + 1$ ，于是小聪把 $x + y$ 和 $x y$ 称为基本交换对称式．
请根据以上材料解决下列问题：

(1)、代数式① $\frac{1}{x y}$ ， ② $x - y$ ， ③ $\frac{y}{x}$ ， ④ $x y + y z + z x$ 中，属于交换对称式的是（填序号）；

(2)、已知 $(x - a) (x - b) = x^{2} - p x + q$ ．
① $q =$ ▲ （用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）；
②若 $p = 2$ ， $q = - 1$ ，求交换对称式 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值；
③若 $q = - 2$ ，求交换对称式 $\frac{a^{3} + 2}{a} + \frac{b^{3} + 2}{b} + a + b$ 的最小值．

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14、观察下列方程及其解的特征
第1个方程： $x + \frac{1}{x} = 2$ 的解为 $x_{1} = x_{2} = 1$
第2个方程： $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ 的解为 $x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2}$
第3个方程 $x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$ 的解为 $x_{1} = 3, x_{2} = \frac{1}{3}$
解答下列问题：

(1)、猜想，第5个方程，方程 $x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5}$ 的解为．

(2)、关于 $x$ 的第 $n$ 个方程为，它的解为；

(3)、利用上述规律解关于 $x$ 的分式方程： $x + \frac{1}{4 x - 6} = \frac{a^{2} + 3 a + 1}{2 a}$

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15、斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，在某路口的斑马线路段 $A - B - C$ 横穿双向机动车道，其中 $A B$ 段长6米，比 $B C$ 段少1米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过 $A C$ ，其中通过 $B C$ 的速度是通过 $A B$ 速度的1.4倍，求小明通过 $A B$ 时的速度．

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16、对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算： $x \otimes y = \frac{2 x}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$ ，例如： $4 \otimes 3 = \frac{2 \times 4}{4 + 1} - \frac{3}{4 + 1} = \frac{8 - 3}{5} = 1$ ．

(1)、求 $6 \otimes 5$ 的值；

(2)、若 $a \otimes 1 = 1$ ，求a的值．

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17、先阅读下列解题过程，再回答问题．
解方程： $\frac{3}{x^{2} - 4} - \frac{1}{2 - x} = - \frac{6}{x + 2}$ ，
解：两边同乘 $x^{2} - 4$ 得： $3 - (x + 2) = - 6 (x - 2)$ ①
去括号得： $3 - x - 2 = - 6 x + 12$ ②
移项得： $- x + 6 x = 12 - 3 + 2$ ③
解得： $x = \frac{11}{5}$ ④
……

(1)、以上解答有错误，最先开始错误的步骤是（填序号），此步骤的做题依据是；

(2)、请给出正确的解答过程．

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18、先化简： $(\frac{9}{m + 3} - 3 + m) \div \frac{2 m^{3} - 4 m^{2}}{m^{2} - 4 m + 4}$ ，并选一个合适的值作为 $m$ 代入求值．

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19、解方程：

(1)、 $\frac{4}{3 x + 5} + \frac{7}{x} = 0$

(2)、 $\frac{2 x - 1}{x - 3} - \frac{1}{3} = \frac{6 x - 5}{3 x - 9}$

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20、计算：

(1)、 $\frac{2 x^{2}}{x - y} - \frac{2 y^{2}}{x - y}$ ；

(2)、 $\frac{1}{a + 2} + \frac{4}{a^{2} - 4}$ ；

(3)、 ${(\frac{2 x}{3 y})}^{2} \div (\frac{1}{4} x y)$ ；

(4)、 $(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}) \div \frac{2 x^{2} - 4 x}{x^{2} - 4 x + 4}$ ．

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