相关试卷

1、如图1，直线 $A B$ ： $y = m x - n (n > 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作 $A E ⊥ x$ 轴于点E，F为x轴上一点，直线 $A B$ 与直线 $A F$ 关于直线 $A E$ 对称．

(1)、若 $m = 1$ ， $A C : C D = 2 : 1$ ，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式．

(2)、在（1）的条件下，设抛物线 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x + a^{3} - a + 1 (a \neq 0)$ 的顶点为点Q，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使 $|F Q - D Q|$ 最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，过点F作 $F G ⊥ x$ 轴交 $A B$ 于点G，过点A作 $A P ⊥ F G$ 于点P，连接 $D P$ ．若k为定值，求证： $△ A D P$ 的面积为定值．

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2、最近，人工智能领域的一项重大进展是DeepSeekV3模型的推出．假设为了训练DeepSeekV3，研究团队需要处理一个包含1230000000个数据样本的数据集．用于训练DeepSeekV3的数据样本数用科学记数法表示为（）

A、 $1.23 \times 10^{8}$ B、 $1.23 \times 10^{9}$ C、 $1.23 \times 10^{10}$ D、 $1.23 \times 10^{11}$

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3、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C, D$ 是 $⊙ O$ 上两点， $C O$ 平分 $∠ B C D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、已知 $A B = 10$ ， $cos B = \frac{4}{5}$ ，求 $A E$ 的长．

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4、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为3，点E，F，G分别在边 $A B, B C, C D$ 上，且 $A F ⊥ E G$ ．当 $C F = 2 B F$ 时， $E F + A G$ 的最小值为．

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5、数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长度为半径画弧，交于点 $P$ 和点 $Q$ ，连接 $P Q$ ，以点 $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，交 $P Q$ 于点 $C$ ；以原点 $O$ 为圆心， $O C$ 长为半径画弧，交数轴于点 $M$ ，则点 $M$ 对应的数是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、5 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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6、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与 $x$ 轴交于A， $B$ 两点（点A在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、作直线 $A C$ ， $P$ 是抛物线上第一象限内的一个动点．
①如图1，当 $∠ P A B = ∠ A C O$ 时，求点 $P$ 的横坐标；
②如图2，过点 $P$ 作 $P Q ∥ y$ 轴，交直线 $A C$ 于点 $Q$ ，作 $P M ⊥ P Q$ ，交抛物线于另一点 $M$ （点 $M$ 在点 $P$ 的右侧），以 $P Q$ ， $P M$ 为邻边构造矩形 $P Q N M$ ，求该矩形周长的最小值．

(2)、将线段 $A B$ 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段 $E F$ ，若抛物线 $y = a (- x^{2} + 2 x + 3)$ （ $a \neq 0$ ）与线段 $E F$ 只有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

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7、问题情景
如图 $1$ ， $△ A B C$ 与 $△ A E F$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ A B C = ∠ A E F = 90 °$ ，求证： $△ A B E ∽ △ A C F$ ；
问题迁移
如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，连接 $A E$ ，将 $A E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $120 °$ ，得到 $E F$ ，连接 $A F$ ， $F C$ ．
$①$ 求证： $C F ⊥ B C$ ；
$②$ 连接 $B F$ ，若 $B F = \sqrt{43}$ ， $B E = 3$ ，直接写出 $B C$ ， $A F$ 的长；
问题变式
如图 $3$ ，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，点 $E$ 是对角线 $B D$ （端点除外）上的动点，连接 $A E$ ，作菱形 $A E F G$ ，使 $∠ G A E = ∠ D A B$ ， $E F$ 交 $C D$ 于点 $P$ ，若 $\frac{A B}{B E} = k + 1 (k > 0)$ ，求 $\frac{P E}{P F}$ 的值（用含有 $k$ 的式子表示）．

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8、某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径 $A B = 6 cm$ ，杯底直径 $C D = 4 cm$ ，杯壁母线 $A C = B D = 6 cm$ ．请你解决下列问题：

(1)、小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧 $E F$ 的长为______ $cm$ ，弧 $M N$ 的长为______ $cm$ ；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧 $M N$ 所在圆的圆心 $O$ ，如图3所示．求弧 $M N$ 所在圆的半径 $r$ 及它所对的圆心角的度数 $n$ ．

(2)、小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．

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9、“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等．

(1)、甲种图书和乙种图书的价格各是多少？

(2)、根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？

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10、光从真空射入介质发生折射时，入射角 $α$ 的正弦值与折射角 $β$ 的正弦值的比值 $\frac{\sin α}{\sin β}$ 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．

(1)、若光从真空射入某介质，入射角为 $α$ ，折射角为 $β$ ，且 $\sin α = \frac{3}{4}$ ， $β = 30 °$ ，求折射率；

(2)、现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点 $A$ ， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形 $A_{1} D_{1} D_{2} A_{2}$ 对角线交点 $O$ 处射入，其折射光线恰好从点 $C$ 处射出，如图②，已知 $α = 60 °$ ， $C D = 10 \sqrt{6}$ ，求 $O D$ 的长．

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11、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
（1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，若AB=3，BC=1，求BD的长．

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12、因式分解： $9 a^{3} - a =$ ．

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13、如图，在正方形 $A B C D$ 中，先以点 $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，再以 $C D$ 为直径作半圆 $O$ ，交前弧于点 $E$ ，连接 $C E$ ， $D E$ ．若 $A B = 10$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{25}{2} π - 20$ B、 $25 π - 20$ C、 $\frac{25}{2} π - 18$ D、 $25 π - 18$

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14、利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在 $A$ 处测得建筑物 $C$ 在南偏西 $60 °$ 的方向上，在 $B$ 处测得建筑物 $C$ 在南偏西 $20 °$ 的方向上．在建筑物 $C$ 处测得A，B两处的视角 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $60 °$ D、 $80 °$

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15、下列运算正确的是（）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ B、 ${(- 2 a)}^{3} = - 6 a^{3}$ C、 $2 a b + a = 2 a^{2} b$ D、 $a^{3} b^{2} \div a^{2} b = a b$

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16、中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、下列四个数中，无理数是（）

A、0 B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- 2$ D、1

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18、如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 与一次函数 $y = m x + 1$ 的图象交于点 $A (2, 3)$ ，点B是反比例函数图象上一点， $B C ⊥ x$ 轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接 $A B$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = m x + 1$ 的表达式；

(2)、当 $O C = 4$ 时，求 $△ A B D$ 的面积．

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19、如图，平面直角坐标系中，已知点 $A (- 2, 3)$ ， $B (- 4, - 1)$ ， $C (2, 0)$ ，若点 $P (a, b)$ 是 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上任意一点， $△ A B C$ 经过平移后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点P的对应点为 $P_{1} (a + 5, b - 3)$ ．

(1)、画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三个顶点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标．

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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20、如图， $△ A B C$ 内接于⊙o，直径AE交BC于点 $D$ ，已知 $∠ 1 + ∠ 2 = 9 0^{°}$ 。

(1)、求证： $C D = C E$ 。

(2)、设 $∠ 1$ 的度数为x，求 $∠ B A E$ 的度数（用含x的代数式表示）。

(3)、若 $C A = C B$ ，求 $\frac{A D}{D E}$ 的值。

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