相关试卷

1、不等式 $\{\begin{matrix} \frac{2 x - 1}{3} > - 1 \\ 1 - 3 x \geq - 5 \end{matrix}$ 的解能在轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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2、下列不属于定义的是（）

A、两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 B、对顶角相等 C、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 D、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形

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3、下面的图形是以数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（）

A、斐波那契螺旋线 B、笛卡尔心形线 C、赵爽弦图 D、阿基米德曲线

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4、通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型理解】
（1）如图①， $△ A B C$ ， $△ A D E$ 共顶点A， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ，连 $B D 、 C E$ ．由 $∠ B A C - ∠ D A C = ∠ D A E - ∠ D A C$ ，得 $∠ B A D = ∠ C A E$ ．又 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，可以推理得到 $△ A B D ≌ △ A C E$ ，进而得到 $B D =$ ______， $∠ A B D =$ ______．
【问题研究】
（2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题．
如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角 $△ P A B$ ，使得点A、B分别在直线a、b上．

小明同学作法简述如下：如图③，过点P作 $P D ⊥ a$ ，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形 $P D E$ ，过点E作 $E B ⊥ P E$ ，交b于点B，在a上截取 $D A = B E$ ，连 $A B$ ． $△ P A B$ 即为所要求作的等腰直角三角形．
请证明小明的作法是正确的．
【深入研究】
小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边 $△ P A B$ ，使得点A、B分别在直线a、b上．
（3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图）

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5、如图，在 $△ A B C$ 中．

(1)、如图1，若 $A C = 6 \sqrt{2}, A B = 2, ∠ A = 45 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、如图2， $∠ A = 45 °$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 外的一点，连接 $C D, B D$ ，且 $C D = C B, ∠ A B D = ∠ B C D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A C$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，请写出 $B D, A B, A C$ 之间的数量关系，并给出证明；

(3)、如图3， $∠ C A E = 45 °, ∠ C = 90 °$ ，作 $A P$ 平分 $∠ C A E$ 交 $C E$ 于点 $P$ ，过 $E$ 点作 $E M ⊥ A P$ 交 $A P$ 的延长线于点 $M$ ，点 $K$ 为直线 $A C$ 上的一个动点，连接 $M K$ ，过 $M$ 点作 $M N ⊥ M K$ ，且始终满足 $M N = M K$ ，连接 $A N$ ， $A C = 2$ ，请直接写出 ${(A N + M N)}^{2}$ 的最小值．

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6、在等边 $△ A B C$ 外侧作直线 $A P$ ，点 $B$ 关于直线 $A P$ 的对称点为 $D$ ，连接 $B D$ ， $C D$ ，其中 $C D$ 交直线 $A P$ 于点 $E$ ．

(1)、如图1，若 $∠ P A B = 30 °$ ，则 $∠ A C E =$ _________；

(2)、如图2，若 $60 ° < ∠ P A B < 90 °$ ，请补全图形，判断由线段 $A B$ ， $C E$ ， $E D$ 可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．

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7、如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ C = 90 °$ ， D是 $A B$ 的中点， $D E ⊥ D F$ ，点E，F在 $A C$ ， $B C$ 上．

(1)、求证： $D E = D F$ ．

(2)、连结 $E F$ ，则 $B F 、 A E 、 E F$ 之间有什么数量关系？请说明理由．

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8、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边AB上的高线，且 $A B = 13 ， B C = 12$ ．求：

(1)、 $A C$ 的长．

(2)、 $C D$ 的长．

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9、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D, ∠ A D C = 90 °, ∠ A B C = 60 °$ ， $B C = 6 \sqrt{3}$ ， $B D = 7 \sqrt{2}$ ，则 $A B$ 的长为．

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10、 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D F ⊥ A B$ ，垂足为F， $D E = D G$ ， $△ A D G$ 和 $△ A E D$ 的面积分别为60和42，则 $△ D E F$ 的面积为．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 36 °$ ．分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线 $D E$ 分别交 $A C$ ， $B C$ 于点F，G．以G为圆心， $G C$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点H，连接 $A G$ ， $A H$ ．则 $∠ H A B =$ ．

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12、已知 $a 、 b 、 c$ 为 $△ A B C$ 的三边，且满足 $a^{2} c^{2} - b^{2} c^{2} = a^{4} - b^{4}$ ，则 $△ A B C$ 为三角形．

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13、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 70 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为D，E是 $B C$ 的中点，连接 $E D$ ，则 $∠ C E D$ 的度数是（）

A、 $20^{\circ}$ B、 $40^{\circ}$ C、 $55^{\circ}$ D、 $70^{\circ}$

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14、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，按以下步骤作图：①利用尺规在 $B C ， B A$ 上分别截取 $B E ， B D$ ，使 $B E = B D$ ；②分别以点 $D$ ， $E$ 为圆心、以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ C B A$ 内交于点 $F$ ；③作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G .$ 若 $△ B C G$ 的面积为 $4$ ， $B C = 4$ ， $P$ 为 $A B$ 上一动点，则 $G P$ 的最小值为（）

A、无法确定 B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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15、已知等腰三角形一边长为3，周长为12，那么它的腰长为（）

A、3 B、 $4.5$ C、3或 $4.5$ D、无法确定

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16、如图，已知 $△ A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， D是 $A C$ 上一点， $A B = A D$ ．

(1)、如图一，在线段 $A C$ 上有一点E，使得 $C B = C E$ ，则 $∠ E B D =$ ______°；

(2)、如图二，在线段 $A B$ 上有一点F，且 $∠ F D C = ∠ D B C + 135 °$ ， $A B = c$ ， $A C = b$ ， $B C = a$ ．
①求 $∠ F D B$ ；
②求 $F B$ 的长．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D在 $A C$ 边上（不与点A、点C重合），连接 $B D$ ．

(1)、当 $B D = A B$ 时，
①当 $∠ C = 50 °$ 时，则 $∠ A B D =$ ______°．
②求 $∠ A B D$ 与 $∠ C$ 之间的数量关系．

(2)、当 $∠ A = 100 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 时，求线段 $A D, B D, B C$ 之间的数量关系．

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18、如图，在△ABE中，AB=AE，AD=AC，∠BAD=∠EAC，BC、DE交于点O．
求证：（1）△ABC≌△AED；
（2）OB=OE．

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19、如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 $A 、 B 、 C$ 在小正方形的顶点上．

(1)、在图中画出与 $△ A B C$ 关于直线 $l$ 成轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、 $△ A B C$ 的面积为______；

(3)、在直线 $l$ 上找一点 $P$ ，使 $P A + P B$ 的长最短．

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20、如图，点B、E、C、F在同一直线上， $A B = D E$ ， $A C = D F$ ， $B E = C F$ ，求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ．

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