相关试卷

1、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C是 $⊙ O$ 上一点，过点 $C$ 的直线交 $A B$ 的延长线于点 $D$ ， $A E ⊥ D C$ ，垂足为 $E$ ，与 $⊙ O$ 的交于点 $F$ ， $A C$ 平分 $∠ B A E$ ．
（1）求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；
（2）若 $A E = 6$ ， $∠ D = 30 °$ ，求线段 $D B$ 的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．

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2、某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量 $y$ （千克）与销售单价 $x$ （元）符合一次函数关系，如图所示．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

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3、如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 10$ ，把 $△ A B C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60 °$ 得 $△ D E C$ ，连接 $A D$ ， $B D$ ．

(1)、求 $A D$ 的长及 $∠ B A D$ 的度数；

(2)、求 $△ A B D$ 的面积．

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4、某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：

(1)、共调查了名学生．

(2)、请补全条形统计图．

(3)、若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．

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5、如图，已知 $△ A B C$ 的顶点 $A, B, C$ 在格点上，在网格中按下列要求作图：

(1)、将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{1} B_{1} C$ ；

(2)、作出与 $△ A B C$ 关于点 $O$ 成中心对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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6、将图中的破轮子复原，已知弧上三点 $A, B, C$ ，用尺规画出该轮子的圆心．

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7、如图，平面直角坐标系中有一点 $A (4, 2)$ ，在以 $M (0, 3)$ 为圆心，2为半径的圆上有一点 $P$ ，将点 $P$ 绕点 $A$ 旋转 $180^{\circ}$ 后恰好落在 $x$ 轴上，则点 $P$ 的坐标是．

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8、若 $(- 1, y_{1}), (3, y_{2})$ 是二次函数 $y = x^{2} - 4 x$ 图象上的点，则 $y_{1}$ $y_{2}$

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9、如图， $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为A，PA=2 $\sqrt{3}$ ， ∠APO=30°，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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10、下列函数中，对应图象的顶点坐标是 $(- 2, 3)$ 的是（）

A、 $y = - {(x + 2)}^{2} + 3$ B、 $y = - {(x + 2)}^{2} - 3$ C、 $y = - {(x - 2)}^{2} + 3$ D、 $y = - {(x - 2)}^{2} - 3$

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11、综合与实践：
在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，点D为 $A B$ 的中点，点P为射线 $B C$ 上一个动点，连接 $A P$ ，将线段 $A P$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A Q$ ，连接 $D Q$ ， $P Q$ ．

(1)、【观察猜想】如图1，当点P在边 $B C$ 上，且满足 $C P = 2 B P$ 时， $D Q =$ ______；

(2)、【类比探究】如图2，当点P在 $B C$ 延长线上时，判断“ $C P = D Q$ ”是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(3)、【拓展应用】若点Q到 $B C$ 的距离为2，求出线段 $B P$ 的长．

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12、综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)、如图（1），将矩形纸片 $A B C D$ 沿过点A的直线折叠，使点B落在 $A D$ 边上的点 $B'$ 处，折痕为 $A E$ ，则四边形 $A B E B^{'}$ 的形状为                ．

(2)、如图（2），矩形纸片 $A B C D$ 的边长 $A B ∶ B C = 2 ∶ 3$ ，用图（1）中的方法折叠纸片，折痕为 $A E$ ，接着沿过点D 的直线折叠纸片，使点C落在 $E B^{'}$ 上的点 $C^{'}$ 处，折痕为 $D F$ ．则 $∠ B^{'} D C^{'} =$                 ， $∠ C D F =$                 ．

(3)、如图（3），矩形纸片 $A B C D$ 的长为 $6 cm$ ，宽为 $3 cm$ ，用图（1）的方法折叠纸片，折痕为 $A E$ ，在线段 $C E$ 上取一点F（不与点C，E 重合），沿 $D F$ 折叠 $△ C D F$ ，点C的对应点为 $C^{'}$ ，    延长 $F C^{'}$ 交直线 $A D$ 于点G．
①判断 $G D$ 与 $G F$ 的数量关系，并证明；
②当射线 $F G$ 经过 $△ A B^{'} E$ 的直角边的中点时，请直接写出 $C F$ 的长．

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13、“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字 $1 ~ 12$ 均匀分布，分针转动一周（ $360 °$ ）需要 $60$ 分钟，时针转动一周的 $\frac{1}{12}$ 需要 $60$ 分钟，这样，分针的转速为每分钟转 $6$ 度，时针的转速为每分钟转 $\frac{1}{2}$ 度．
【课题学习】三点二十分时，时针与分针所成角度是多少度？为了解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为 $90 °$ ；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度为 $20 \times 6 ° = 120 °$ ，时针转动的角度为 $20 \times (\frac{1}{2}) ° = 10 °$ ；三点二十分时，时针与分针所成角度是 $120 ° - (90 ° + 10 °) = 20 °$
【问题解决】如图，表盘上的点 $A$ 对应数字“ $12$ ”，点 $B$ 对应数字“ $3$ ”

(1)、三点三十分时，时针与分针所成角度是度；

(2)、如图 $1$ ，若分针 $O M$ 从 $O A$ 的位置开始转动，经过多少分钟， $O M$ 第一次平分 $∠ A O B$ ；

(3)、如图 $2$ ，两点钟时，时针 $O N$ 与分针 $O M$ 所成角度 $60 °$ ，在两点钟到三点钟之间，经过多少分钟，分针 $O M$ 、时针 $O N$ 和射线 $O B$ 中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线；

(4)、当时针和分针所成角度 $180 °$ 时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图 $3$ ，六点整就是一个美妙时刻，从 $0$ 时到 $24$ 时共有个美妙时刻．

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14、根据以下信息，探索并完成任务．

现有一块长方形宣传牌，拟在上面书写24字宣传语．
信息1	如图1，（1）实线部分是长方形宣传牌，长 $414 cm$ ，宽 $270 cm$ ．（2）中间虚线部分也是长方形，长是宽的 $1.6$ 倍，用来设计．（3）四周空白部分的宽度相等．
信息2	如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左中右三个长方形栏目，每个栏目书写8个字，栏目与栏目之间的中缝间距相等．
信息3	如图3，每个栏目划出正方形方格，中间有十字间隔，竖向两列中间间隔（如 $C D$ ）和横向中间间隔（如 $E F$ ）宽度比为 $1 : 2$ ．
问题解决
任务1	设四周宽度为 $x cm$ ，则长可表示为___________ $cm$ ，宽可表示为___________ $cm$ ．
任务2	求四周宽度 $x$ 的值．
任务3	（1）求每个栏目的水平宽度（如 $A B$ ）；（2）长方形栏目与栏目之间的中缝间距是___________ $cm$ ．

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15、百合外国语学校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了 $m$ 名学生，调查他们过去一周的平均睡眠时间并绘制了如下两幅不完整的统计图：
$a ． m$ 名学生平均睡眠时间的频数分布直方图如图①：（将调查数据分成5组，分别是 $A ： 6 \leq x < 7$ ， $B ： 7 \leq x < 8 ， C ： 8 \leq x < 9 ， D ： 9 \leq x < 10 ，$ $E ： 10 \leq x < 11 ）$
b． $m$ 名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②：根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次调查的学生总数 $m$ 的值为___________

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、在扇形统计图中，B组所在扇形区域的圆心角大小为___________度；

(4)、百合外国语学校共有1800名在校学生，请估计睡眠时间在9小时及以上的学生有多少名？

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16、（ $1$ ）已知：如图 $1$ ，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，且 $A C = 8 cm$ ，点 $E$ 和点 $F$ 分别是线段 $A B 、 A C$ 的中点， $E F = 5 cm$ ．求线段 $A B$ 的长．
（ $2$ ）如图 $2$ ，已知 $∠ A O C = \frac{1}{2} ∠ B O C$ ， $O D$ 平分 $∠ A O B$ ，且 $∠ A O C = 32 °$ ，求 $∠ C O D$ 的度数．

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17、如图，已知一个正方体展开图的六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是．

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18、已知 $a ， b ， c$ 三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简： $|a + b| - |c - a| + |b - a|$ 的结果为（）

A、 $- 3 a - c$ B、 $- a - c$ C、 $a - 2 b - c$ D、 $a + 2 b - c$

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19、随着初中学业水平考试的临近，我校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，
绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（）

A、共有500名学生参加模拟测试 B、从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C、第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多 D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人

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20、【定义新知】
婆罗摩芨多是公元 $7$ 世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
【理解运用】
（ $1$ ）如图 $1$ ，四边形 $A B C D$ 为 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $A C$ 、 $B D$ 、 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 、 $O D$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ，已知 $∠ B O C + ∠ A O D = 180 °$ ．试说明：四边形 $A B C D$ 是“婆氏四边形”；
（ $2$ ）如图 $2$ ，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，以 $A B$ 为弦的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于 $D$ ，交 $B C$ 于 $E$ ，连接 $D E$ 、 $A E$ 、 $B D$ ．其中， $A B = 6, B C = 10$ ，若四边形 $A B E D$ 是“婆氏四边形”，求 $D E$ 的长；
【问题拓展】
（ $3$ ）如图 $3$ ，某公园欲规划一个圆形景观区 $⊙ O$ ，并在其内部设计一个四边形 $A B C D$ 区域，作为花海，其中点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 均在 $⊙ O$ 上， $A C$ 、 $B D$ 为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形 $A B C D$ 是“婆氏四边形”，且 $A D$ 与 $B C$ 的长度之和为 $400$ 米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由．

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