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1、从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

(1)、如图 ①，在△ABC 中，∠A=48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD=CD，则∠ACB=°；

(2)、如图②，在△ABC 中，AC=2，BC= $\sqrt{2}$ CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长.

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2、如图，点 D 在 AB上，△ACD∽△CBD.
求证：

(1)、 $C D^{2} = A D \cdot B D ；$

(2)、 $\frac{A C^{2}}{B C^{2}} = \frac{A D}{B D} .$

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3、如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，D 为 AB 的中点，点 E在线段 AC 上，连结 DE. 若△ABC 与△ADE 相似，则AE 的长为.

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4、如图，在4×4 的方格中，三角形的顶点都是格点，△ABC∽△EFD，则其相似比为( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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5、已知△ABC 的三边长是 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{6}$ ， 2，则与△ABC 相似的三角形的三边长可能是 ( )

A、 $1 ， \sqrt{2} ， \sqrt{3}$ B、 $1 ， \sqrt{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $1 ， \sqrt{3} ， \frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $1 ， \sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}$

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6、下列说法中正确的是( )

A、所有的等腰三角形都相似 B、所有的等边三角形都相似 C、所有的直角三角形都相似 D、两相似三角形必是全等三角形

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7、如图，已知AD，BC 相交于点 O，△AOB∽△DOC，相似比是 $\frac{2}{5}$

(1)、若AB=3cm，求CD 的长；

(2)、若∠D = 45°，∠AOB = 75°，求∠B 的度数.

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8、如图，点 D，E 分别在 AC，AB上，若△AED∽△ACB，且AE=6，EB=3，AD=7，则DC=.

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9、如图，已知△ABC∽△A'B'C'，则图中角度α和边长x 分别为( )

A、40°，9 B、40°，6 C、30°，9 D、30°，6

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10、如图，已知 △ADE ∽△ABC.若 AD=1，BD=2，则△ADE 与△ABC 的相似比是.

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11、已知△ABC∽△A'B'C'，且相似比为2，则( )

A、∠A=2∠A' B、 $∠ A^{'} = 2 ∠ A$ C、AB=2A'B' D、A'B'=2AB

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12、如图，请判断△ABC 与△A'B'C'是否相似，并说明理由.

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13、

(1)、如图①，D，E 分别是AB，AC 上的点，△ADE∽△ABC，则对应边是，对应角是；

(2)、如图②，AB，CD 相交于点O，△AOC∽△BOD，则对应边是，对应角是；

(3)、如图③，D，E 分别是 AC，AB 上的点，△ADE∽△ABC，则对应边是，对应角是.

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14、如图，半径为5 的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动的路线长为.

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15、如图，正六边形硬纸片 ABCDEF 在桌面上由图①的起始位置沿直线l 不滑行地翻滚一周后到图②的位置.若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心 O 运动的路线长为cm.

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16、如图，把 $R t △ A B C$ 的斜边放在直线l上，将 $R t △ A B C$ 按顺时针方向在l上转动两次，使它转到 $△ A^{″} B^{'} C^{″}$ 的位置.若 $B C = 1 ， ∠ A B C =$ $6 0^{\circ} ，$ ，则当顶点 A 转动到点.A''的位置时，点A 所经过的路线长为.

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17、如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD 按图中所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点 B 在两次旋转过程中经过的路线长是.

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18、如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD，先折出BC 的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使 EB 落在线段AE 上，折出点 B 的新位置点 B'，因而EB'=EB.类似地，在AB 上折出点 B"，使AB''=AB'.这时 B"就是线段AB 的黄金分割点.请你证明这个结论.

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19、已知线段a，b 满足 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} .$

(1)、求 $\frac{3 a - b}{b}$ 的值；

(2)、当线段x 是线段a，b的比例中项线段，且a=4时，求线段x的长.

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20、已知线段AB 及AB 上一点 P，再添加一个条件，使P 为线段AB 的黄金分割点，其中错误的是( )

A、 $A P = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} A B$ B、 $P B = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} A B$ C、 $\frac{A P}{P B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{A B}{A P} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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