相关试卷

1、如图，已知点 $P$ 是等边 $△ A B C$ 内一点，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ D A P = 60 °$ ，连接 $D P$ ， $D C$ ， $A D = D P$ ．

(1)、求证： $△ A D C ≌ △ A P B$ ．

(2)、若 $P A = 15$ ， $P B = 8$ ， $P C = 17$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．

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2、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ 的平分线交 $A B$ 于点 $D$ ， $A H ⊥ B C$ 于点 $H$ ， $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ A D C = 75 °$

(1)、试判断 $△ A D C$ 的形状，并说明理由．

(2)、若 $C D = 2$ ，求 $A H$ 的长．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = C B$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， F为AB延长线上一点，点E在BC上，且 $B E = B F$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C B F$ ；

(2)、若 $∠ C A E = 20 °$ ，求 $∠ A C F$ 的度数．

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4、如果 $(2, 3)$ 表示第二排第三列，那么第五排第七列应该表示为

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5、如图，直角坐标系中长方形 $A B C D$ 的四个顶点坐标分别为 $A (- 1, 2)$ ， $B (- 1, - 1)$ ， $C (1, - 1)$ ， $D (1, 2)$ ，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为 $M_{1}$ ，第二次相遇时的点为 $M_{2}$ ，第三次相遇时的点为 $M_{3}$ ， ……，则点 $M_{2025}$ 的坐标为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(0, 1)$

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6、等腰三角形的一个角为 $70 °$ ，则它的底角为（）

A、 $70 °$ B、 $55 °$ C、 $55 °$ 或 $70 °$ D、 $35 °$ 或 $70 °$

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7、如图 $①$ ，直线 $A B$ 与抛物线 $M_{1}$ ： $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 交于点 $A (4, 0)$ ，点 $B (1, - 6)$ ．

(1)、求抛物线 $M_{1}$ 的解析式；

(2)、点 $C$ 为直线 $A B$ 下方的抛物线上一动点，过点 $C$ 作 $C D ∥ x$ 轴交直线 $A B$ 于点 $D$ ，设点 $C$ 的横坐标为 $h$ ，当 $C D$ 取最大值时，求 $h$ 的值：

(3)、如图 $②$ ，点 $E (0, - 4)$ ，连接 $A E$ ，将抛物线 $M_{1}$ 向上平移 $m (m > 0)$ 个单位长度得到抛物线 $M_{2}$ ，当 $\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ 时，根据 $m$ 的不同取值，试探究抛物线 $M_{2}$ 与直线 $A E$ 交点个数的情况．

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8、综合与实践
问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，需要建有一个休息室，一个洗手间．
设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸 $A B C D$ 先对折，得到 $A B$ 的垂直平分线 $M O$ ，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到 $M O$ 上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为 $A E ， B F$ ，再次摊开，铺平，连接 $A P ， B P ， E P$ ， $F P$ ，得到 $△ A B P$ ， $△ E F P$ ，四边形 $A D E P$ ，四边形 $B C F P$ 四个区域．一条抛物线形的路把这四个区域串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点．
工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以 $A B$ 所在直线为x轴， $M O$ 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题：

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、在四边形 $A D E P$ 区域内的抛物线上找一点N，使得 $△ A P N$ 的面积最大，在此处建一个休息室，请求出点N坐标；

(3)、为了平衡布局，设计人员要求洗手间（用点H表示）到点P和点B的距离相等，若点H在抛物线上的四边形 $B C F P$ 区域内，求点H的坐标．

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9、 $2025$ 年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件 $40$ 元的价格购进一款玩偶，以每件 $58$ 元的价格出售．经统计， $2024$ 年 $10$ 月份的销售量为 $256$ 件， $2024$ 年 $12$ 月份的销售量为 $400$ 件．

(1)、求该款玩偶 $10$ 月份到 $12$ 月份销售量的月平均增长率．

(2)、从 $2025$ 年 $1$ 月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价 $1$ 元，月销售量就会在 $12$ 月份销售量的基础上增加 $20$ 件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达 $4800$ 元？

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10、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6 cm$ ， $B C = 8 cm$ ．点 $P$ 从点 $B$ 开始沿 $B C$ 向点 $C$ 以 $1cm/s$ 的速度运动，点 $Q$ 从点 $C$ 开始沿 $C A$ 向点 $A$ 以 $2 cm/s$ 的速度运动， $P$ ， $Q$ 同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为 $t s$ ．

(1)、下列两位同学的说法正确的是__________，请说明理由；
小六同学： $P Q$ 可以平分 $△ A B C$ 的周长；
小珠同学： $P Q$ 可以平分 $△ A B C$ 的面积．

(2)、连接 $A P$ ，当 $t$ 为何值时， $S_{△ A P Q} = \frac{1}{4} S_{△ A B C}$ ？

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11、已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 3$ ，

(1)、对称轴是；

(2)、在平面直角坐标系里画出它的图象．

(3)、当 $- 2 < x < 3$ 时，函数 $y$ 的取值范围是．

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12、解方程：

(1)、 ${(x - 1)}^{2} = 9$ ；

(2)、 $x^{2} + 3 x = 4$ ；

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13、如图，点 $G$ 为抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 对称轴上的点，点 $E (m, y_{1})$ ， $F (n, y_{2})$ 在对称轴右侧抛物线上，若 $△ G E F$ 为等腰直角三角形， $∠ E G F = 90 °$ ，则 $n - m =$ ．

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14、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a {(x + m)}^{2} + b = 0$ （ $a$ ， $b$ ， $m$ 为常数， $a \neq 0$ ）的解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ ，则方程 $a {(x + m + 2)}^{2} + b = 0$ 的解为．

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15、如图，抛物线 $y_{1}$ 与直线 $y_{2}$ 相交于点 $A$ 和点 $B$ ，点 $A$ ， $B$ 的横坐标分别为 $- 2$ 和 $4$ ，则当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围为．

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16、若一元二次方程 $x^{2} - 2 x - k = 0$ 没有实数根，则直线 $y = k x + 2$ 不经过第象限．

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17、若关于 $x$ 的方程 $(a - 2) x^{|a|} - 3 x + 2 = 0$ 是一元二次方程，则 $a$ 的值为．

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18、已知一元二次方程 $3 - (x - 5) (x + 6) = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），则下列判断正确的是（）

A、 $- 6 < x_{1} < x_{2} < 5$ B、 $x_{1} < - 6 < 5 < x_{2}$ C、 $- 6 < x_{1} < 5 < x_{2}$ D、 $x_{1} < - 6 < x_{2} < 5$

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19、一次函数 $y = m x + n$ 的图象如图所示，则二次函数 $y = - m {(x + n)}^{2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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20、已知 $x = 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + a = 0$ 的一个实数根，则方程的另一个根是（　　）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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