相关试卷

1、若单项式 $5 x^{- m} y^{2}$ 与单项式 $- x^{3} y^{n}$ 的和仍是一个单项式，则 $m n$ 的值是．

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2、若 $x + 1$ 与 $- 6$ 互为相反数，则 $x$ 等于（）

A、5 B、 $- 5$ C、7 D、 $- 7$

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3、已知 $∠ A = 25 ° 4 2^{'}$ ，则 $∠ A$ 的余角等于（）

A、 $114 ° 1 8^{'}$ B、 $114 ° 5 2^{'}$ C、 $64 ° 1 8^{'}$ D、 $64 ° 5 8^{'}$

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4、据统计，2025年国庆中秋假期，汕头市接待游客450.2万人次，将4502000用科学记数法表示为（）

A、 $0.4502 \times 10^{7}$ B、 $4.502 \times 10^{6}$ C、 $45.02 \times 10^{5}$ D、 $4502 \times 10^{3}$

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5、下列说法：① $- \frac{1}{2} > - \frac{1}{3}$ ；② $3 x^{2} - y + 5 x y^{2}$ 是二次三项式；③除以一个数，等于乘这个数的倒数；④一个平角就是一条直线；⑤两点确定一条直线，其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6、综合与实践
$A 4$ 纸是国际标准纸张尺寸之一，它的长与宽之比为 $\sqrt{2} : 1$ ．神奇的是，将 $A 4$ 纸沿着长边中点所在直线对折一次，得到的两张 $A 5$ 纸，其长与宽之比也为 $\sqrt{2} : 1$ ，继续对折也有一样的结论．数学课上，老师组织了探究 $A 4$ 纸中的数学折叠问题的活动．

(1)、如图1，矩形 $A B C D$ 表示一张A4纸，其中 $A B : A D = \sqrt{2} : 1$ ．将矩形 $A B C D$ 沿长边中点所在直线对折，使点 $B$ 与点 $A$ 重合，点 $C$ 与点 $D$ 重合，折痕为 $M N$ ，点 $M$ 在 $A B$ 上，点 $N$ 在 $C D$ 上，请说明矩形 $A M N D$ 的长与宽之比也为 $\sqrt{2} : 1$ ．

(2)、小明在折纸过程中，按以下步骤折出了纸飞机
步骤一：如图2，将 $A 4$ 纸张 $A B C D$ 沿直线 $M E$ 和 $M F$ 对折，使得A、B两点落在直线 $M N$ 上的点G处，得到图3．
步骤二：如图4，将得到的图形沿直线 $M H$ 、 $M I$ 对折使得E、F在直线 $M N$ 上，得到图5，纸飞机完成．
①请证明步骤二中，折叠后E、F刚好与N点重合；
②若原 $A 4$ 纸张长为 $\sqrt{2}$ ，宽为1，请求出纸飞机机翼（即图5）的面积．（图6为纸飞机展开后， $A 4$ 纸的折痕图）

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7、问题情境：
如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $B C = 1$ ， $A C = 2 + \sqrt{3}$ ，求 $A B$ 的长度．小许同学利用勾股定理求出 $A B = \sqrt{8 + 2 \sqrt{12}}$ ，老师告诉他： $\sqrt{8 + 2 \sqrt{12}}$ 中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简．
方法回顾：
小许回想到二次根式化简
$∵ \sqrt{a^{2}} = |a|$ ，
$∴ \sqrt{9} = \sqrt{{(\pm 3)}^{2}} = |\pm 3| = 3$ ；
又 $∵ \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}} = \sqrt{{(x + y)}^{2}} = |x + y|$ ，
$∴ \sqrt{7 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{1 + 2 \sqrt{6} + 6} = \sqrt{{(1 + \sqrt{6})}^{2}} = |1 + \sqrt{6}| = 1 + \sqrt{6}$ ；
所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的．
方法应用：
（1） $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2 + 2 \sqrt{2} + 1} =$ _____；
问题解决：
（2） $A B = \sqrt{8 + 2 \sqrt{12}} =$ _____；
方法迁移：
（3）计算： $\sqrt{8 + 2 \sqrt{7}} + \sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}$ ．

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8、在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线 $l_{1} : y = - x + b$ （b为常数）与直线 $l_{2} : y = x$ 交点的横坐标为1，点P在直线 $l_{1}$ 上，点Q在直线 $l_{2}$ 上，且 $P Q ∥ x$ 轴，设点P的横坐标为 $m (m \neq 1)$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 对应的函数表达式．

(2)、当 $m = - 1$ 时，点Q的坐标为______，线段 $P Q$ 的长度为______．

(3)、以 $P Q$ 为边作矩形 $P Q M N$ ，使 $P N = Q M = 2$ ，且点M、N在直线 $P Q$ 的下方．
①当四边形 $P Q M N$ 是正方形时，求m的值．
②当矩形 $P Q M N$ 被直线 $l_{1}$ 分成的两部分的面积比为 $1 : 2$ 时，直接写出m的值．

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9、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B C = 5$ ，对角线 $A C = 4$ ，且 $A C ⊥ A B$ ，点P是边 $B C$ 上的一点（点P不与点B重合），作点A关于点P的对称点M，作点B关于点P的对称点N，连结 $B M 、 M N 、 A N$ ，

(1)、 $▱ A B C D$ 的面积为______．

(2)、求证：四边形 $A B M N$ 是平行四边形．

(3)、当四边形 $A B M N$ 为菱形时，求线段 $A M$ 的长．

(4)、当四边形 $A B M N$ 为矩形时，连结 $B D 、 M D$ ， $△ M B D$ 的面积为______．

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10、【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，点M、N分别在边 $A D 、 C D$ 上，且 $D M = C N$ ，试探究线段 $M N$ 长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点D、N分别作 $M N 、 A D$ 的平行线，并交于点P，作射线 $C P$ ．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）求证： $N C = N P$ ．
（2） $∠ D C P$ 的大小为______度，线段 $M N$ 长度的最小值为______．
【方法运用】（3）如图③，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A = 60 °$ ，点E、F分别在边 $A D 、 C D$ 上，且 $D E = C F$ ，则 $△ D E F$ 周长的最小值为______．

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11、我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），下表是若干次称重时所记录的一些数据：
x（厘米）
1
2
3
4
5
6
y（斤）
$0.6$
$1.3$
2
$2.7$
$3.4$
$4.1$

(1)、请根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点；

(2)、观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由；

(3)、某同学通过将秤杆上秤砣到秤纽的水平距离进行调整进行先后两次测量，若第二次测量时，秤砣到秤纽的水平距离比第一次测量时增加了2厘米，则第二次测量秤钩所挂物重比第一次测量时增加了______斤．

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12、图①、图②、图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形 $A B C D$ ，使其顶点A、B、C、D均在格点上，且所作四边形的各边长均为无理数．

(1)、在图①中，四边形 $A B C D$ 是正方形，且面积为10．

(2)、在图②中，四边形 $A B C D$ 是菱形但不是正方形，且面积为8．

(3)、在图③中，四边形 $A B C D$ 是矩形，且面积为6．

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13、2025年4月15日是第十个国家安全教育日．为了增强学生国家安全意识，某班组织学生举行国家安全法知识竞赛，现统计甲、乙两个小组每个小组的5名学生的成绩，根据甲组学生的成绩绘制了统计表，并给出了乙组学生的成绩方差的计算过程．
甲组学生的成绩统计表
学生
静静
婷婷
聪聪
慧慧
乐乐
成绩（分）
86
89
87
90
93
乙组学生的成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
$s_{乙}^{2} = \frac{1}{5} [{(85 - 89)}^{2} + {(86 - 89)}^{2} + {(89 - 89)}^{2} + {(89 - 89)}^{2} + {(96 - 89)}^{2}] = 14.8$ （分²）．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、甲组5名学生成绩的平均数为______分，中位数为______分．

(2)、你认为甲、乙两个小组中哪一组学生的成绩更好？请说明理由．

(3)、将班级小明、小红和小亮的成绩与甲组5名学生的成绩一起组成一组新的数据，若这8个数据的平均数不低于90分，则小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少是______分．

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14、如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

(1)、用圆规和无刻度的直尺作线段 $B D$ 的垂直平分线 $M N$ ， $M N$ 交 $B D$ 于点O，交 $A B$ 于点E、交 $C D$ 于点F，连结 $B F$ 、 $D E$ ；（保留作图痕迹）

(2)、求证：四边形 $B E D F$ 是菱形．

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15、如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数 $y = k x$ （常数 $k \neq 0$ ）的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ （常数 $m \neq 0$ ）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为 $(2, 3)$ ．

(1)、求反比例函数表达式，并直接写出点B的坐标．

(2)、根据函数图象，直接写出满足方程 $k x = \frac{m}{x}$ 的x的值．

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16、供电局的电力维修工人要到30千米的郊区进行电力抢修，维修工人骑摩托车先从供电局出发，15分钟后，抢修车装载着所有的材料出发，沿着与维修工人相同的路线行驶，结果他们同时到达，已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．

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17、先化简，再求值： $1 + \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ ，其中 $x = 1$ ， $y = 3$ ．

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18、如图，在正方形纸片 $A B C D$ 中，点P是边 $B C$ 上一点，连结 $A P$ ，将正方形沿 $A P$ 折叠，点B落在点E处，延长 $P E$ 交 $C D$ 于点Q，连结 $A Q$ ， $C E$ ．给出以下结论：① $△ A E Q$ ≌ $△ A D Q$ ；② $P Q = B P + D Q$ ；③ $△ P E C$ 与 $△ Q E C$ 的面积相等；④若 $B P = C P$ ，则 $C Q = 2 D Q$ ．上述结论中，正确结论的序号有．

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19、老师在计算学生每学期的总评成绩时，按照“平时成绩占 $40 ％$ ，考试成绩占 $60 ％$ ”的比例计算．若小明的平时成绩为95分，考试成绩为90分，则他的总评成绩为分．

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20、关于x的分式方程 $\frac{3}{x - 1} = \frac{2}{x}$ 的解为．

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学生	静静	婷婷	聪聪	慧慧	乐乐
成绩（分）	86	89	87	90	93

x（厘米）	1	2	3	4	5	6
y（斤）	$0.6$	$1.3$	2	$2.7$	$3.4$	$4.1$