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1、如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B C_{2}$ ，请在图中画出 $△ A_{2} B C_{2}$ ，并求出线段 $B C$ 旋转过程中所扫过的面积．

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2、计算： $\sqrt{12} - {(3.14 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - |1 - \sqrt{3}|$ ．

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3、将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为．

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4、一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ ．

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5、如图，将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 逆时针方向旋转得到 $△ C O D$ ， $A B$ 与 $C D$ 交于点 $P$ ，若 $∠ B O C = 160 °$ ， $∠ A O D = 100 °$ ，则 $∠ C P B$ 等于（）

A、 $120 °$ B、 $150 °$ C、 $155 °$ D、 $160 °$

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6、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + m - 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值是（）．

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、如图， $A B ∥ C D$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，若 $\frac{O C}{A O} = \frac{2}{3}$ ， $C D = 6$ ，则 $A B$ 的长为（　　）

A、9 B、8 C、6 D、4

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8、如图，两个三角形为全等三角形，则 $∠ α$ 的度数是（）

A、74° B、45° C、55° D、51°

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9、从 $\sqrt{2}, 0, π, 3.14, \frac{3}{7}$ 这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10、下列各选项是方程 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 的解的是（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、-2

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11、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, A B = B C$ ， D为 $△ A B C$ 内一点， $∠ A D B = 90 °$ ，其中 $45 ° < ∠ A B D < 90 °$ ，将线段 $B D$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B E$ ，连接 $C E$ ，作直线 $E D$ 交 $A C$ 于点F．

(1)、求 $∠ C E B$ 的度数；

(2)、用等式表示 $F D, B E, A D$ 的数量关系，并证明．

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12、如图，将 $▱ A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到 $▱ A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的位置，使点 $B^{'}$ 落在 $B C$ 上， $B^{'} C^{'}$ 与 $C D$ 交于点 $E$ ．若 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $B B^{'} = 1$ ．

(1)、求证： $△ B A B^{'} ∽ △ D A D^{'}$ ；

(2)、求 $C^{'} D$ 和 $C E$ 的长．

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13、掷实心球是亳州市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是 $2 m$ ，当水平距离为 $5 m$ 时，实心球行进至最高点 $4 m$ 处．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、根据亳州市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于 $12.4 m$ ，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由．

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14、若 $(2, 3)$ 和 $(n, 5)$ 是反比例函数 $y = \frac{m - 1}{x}$ 图象上的两点，则 $n =$ ．

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15、如图，过反比例函数 $y = - \frac{6}{x} (x < 0)$ 的图象上一点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，连接 $A O$ ，则 $S_{△ A O B}$ 的值为．

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16、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列结论：① $a b < 0$ ；② $b^{2} > 4 a c$ ；③ $a + b + c < 0$ ；④ $3 a + c < 0$ ．其中正确的是（）

A、①④ B、②④ C、①②③ D、①②③④

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17、阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔 $O$ ，物体 $A B$ 在幕布上形成倒立的实像 $C D$ （点 $A$ ， $B$ 的对应点分别是 $C$ ， $D$ ）．若物体 $A B$ 的高为 $6cm$ ，实像 $C D$ 的高为 $3cm$ ，则小孔 $O$ 到 $B C$ 的距离 $O E$ 为（）

A、 $2cm$ B、 $1 .5cm$ C、 $1cm$ D、 $2 .5cm$

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18、已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 m x + 4 - m^{2}$ （m为常数），则该二次函数的图象与 $x$ 轴（）

A、有两个公共点 B、有一个公共点 C、没有公共点 D、无法确定公共点的个数

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19、阅读材料并解答下列问题：
在小学，我们知道像 $12, 27, 45, 108, \dots$ 这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说明其中的道理吗？先看两位数的情形，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 $a, b$ ，则通常记这个两位数为 $\bar{a b}$ ，于是 $\bar{a b} = 10 a + b = 9 a + (a + b)$ ．显然 $9 a$ 能被3整除，因此，如果 $a + b$ 可以被3整除，那么 $9 a + (a + b)$ 就能被3整除，即 $\bar{a b}$ 能被3整除．

(1)、请你用类似的方法表示任意一个三位数；

(2)、猜想一个三位数满足什么条件时能被9整除？并说明理由；

(3)、已知一个三位数的十位数上的数字比百位数上的数字的2倍大3，个位上的数字是百位上数字的3倍，这个数能被3整除吗？请说明理由．

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20、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $A (- 1, 4)$ ， $B (- 2, 1)$ ， $C (- 4, 3)$ ．

(1)、 $△ A B C$ 的面积是______；

(2)、已知 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于y轴对称，请在坐标系中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、已知点 $M (4, - 1)$ ，在y轴有一点P，使得 $△ P A_{1} M$ 周长最短，请画出点P的位置．

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