相关试卷

1、将方程 $\frac{1}{x - 1} + 3 = \frac{3 x}{1 - x}$ 两边同乘(x-1)后，可变形为( )

A、1+3=-3x B、1+3(x-1)=-3x C、1+3=3x D、1+3(x-1)=3x

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2、如图，∠1是正五边形的一个外角，则∠1的度数为( )

A、60° B、72° C、108° D、120°

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3、 AI智算中心将电力转化为算力并产出 Token，实现更高价值跃升．基于 DeepSeek模型实测：1度电可生成约5500000个 Token．数据“5500000”用科学记数法表示为( )

A、 $55 \times 1 0^{5}$ B、 $5.5 \times 1 0^{6}$ C、 $5.5 \times 1 0^{7}$ D、 $5.5 \times 1 0^{8}$

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4、元代《算学启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是( )

A、0×2 B、2×2 C、(-2)×(-2) D、(-2)×2

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5、已知抛物线 $y = - x^{2} + a x + 3$ （ $a$ 为常数）经过点 $(- 1, 0)$ ．

(1)、求 $a$ 的值．

(2)、过点 $A (0, m)$ （其中 $m < 3$ ）与 $x$ 轴平行的直线交抛物线于 $B$ ， $C$ 两点，若 $A C = 2 A B$ ，求 $m$ 的值．

(3)、设直线 $l$ 与抛物线交于点 $P (t - 1, y_{1})$ ， $Q (t, y_{2})$ ，若直线 $l$ 上方的抛物线（包含点 $P$ ， $Q$ ）上，函数值的最大值大于2，求 $t$ 的取值范围．

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6、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在 $\overset{⌢}{A D}$ 上，过点 $F$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $B A$ 的延长线于点 $N$ ，交 $C D$ 的延长线于点 $M$ ，连接 $B F$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，连接 $D F$ ．

(1)、求证： $M F = M H$ ．

(2)、若 $D F ∥ A B$ ， $\frac{D M}{D H} = \frac{3}{2}$ ， $E H = 2$ ，求 $⊙ O$ 的直径．

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7、【阅读理解】配方法是数学中重要的一种解题方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题，求代数式最大值、最小值的问题，等等．
例如：求代数式 $x^{2} + 6 x + 13$ 的最小值．
解： $x^{2} + 6 x + 13 = x^{2} + 6 x + 9 + 4 = {(x + 3)}^{2} + 4$ ，
因为 ${(x + 3)}^{2} \geq 0$ ，所以 ${(x + 3)}^{2} + 4 \geq 4$ ，
所以当 $x = - 3$ 时， $x^{2} + 6 x + 13$ 取得最小值，最小值是4．

(1)、【类比运用】当 $1 \leq x \leq 5$ 时，求代数式 $x^{2} - 8 x + 20$ 的最小值．

(2)、【拓展应用】已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x - y^{2} = 3$ ，求代数式 $x^{2} + 3 y^{2} - 8 x + 14$ 的最小值．

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8、学校为了响应国家“五育并举”的号召，增强学生体质，计划开展阳光体育锻炼活动．学校准备开设以下四个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目，并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次接受调查的学生共有多少人？

(2)、若该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢“乒乓球”的学生人数．

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9、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $C D$ 于点 $E$ ， $∠ A D C$ 的平分线交 $A B$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ A D F ≌ △ C B E$ ．

(2)、若 $∠ A = 40 °$ ，求 $∠ B E C$ 的度数．

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10、计算： $\sqrt{9} + |- 6| - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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11、幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书（图1）用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图2），将9个数填在 $3 \times 3$ （三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个三阶幻方，则 $x$ 的值为．

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12、不等式组 $\{\begin{matrix} x + 2 \geq 3 \\ 3 x - 4 < 5 \end{matrix}$ 的解集为．

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13、如图，已知在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 在第一象限，点 $A$ 在 $y$ 轴上，点 $B$ 在 $x$ 轴上，对角线 $A C ∥ x$ 轴，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象与菱形的边 $A D$ ， $B C$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ，当 $k$ 的值发生变化时，图中线段的比值不变的为（）

A、 $\frac{D E}{C G}$ B、 $\frac{A E}{A G}$ C、 $\frac{A G}{C G}$ D、 $\frac{A E}{B F}$

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $A C = \sqrt{2}$ ．以点 $A$ 为圆心，以 $A C$ 为半径作弧交 $B C$ 于点 $D$ ，再分别以点 $C$ ， $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 长度为半径作两弧，两弧交于点 $E$ ，连接 $A E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ．则 $B D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、1 D、 $\sqrt{2} - 1$

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15、如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是以坐标原点 $O$ 为位似中心的位似图形，已知点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，点 $D$ 的坐标为 $(3, 0)$ ．则 $\frac{A C}{D F}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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16、春节是中华民族的传统节日，人们常用贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，四盏灯笼 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的坐标分别是 $(- 4, 3)$ ， $(- 2, 3)$ ， $(- 3, 3)$ ， $(2, 3)$ ，要使四盏灯笼组成的图形关于 $y$ 轴对称，则平移的方法可以是（）

A、将灯笼 $A$ 向右平移7个单位 B、将灯笼 $B$ 向右平移5个单位 C、将灯笼 $C$ 向右平移4个单位 D、将灯笼 $D$ 向右平移2个单位

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17、榫卯构件在我国古建筑中经常使用．如图是某个部件“榫”的示意图，它的主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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18、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 交x轴于点A（-1，0）和点B（4，0）两点，交y轴于点C。

(1)、求a、b的值。

(2)、如图1，点P为抛物线第一象限上的动点，连接AP、BP，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）。

(3)、如图2，在（2）的条件下，点Q在抛物线上且横坐标为 $- \frac{4}{3},$ 连接PQ，点R在第四象限的抛物线上，连接PR交x轴于点D，点E在x轴上，连接ER，DE=ER，过点P作PF⊥ER，垂足为F，过点R作RG⊥PQ，垂足为G，过点F作∠RFP的平分线交PR于点H，连接GH交x轴于点I，点M在y轴正半轴上，点N在AP上，连接MN、CN，CN=CM，若∠MNA=∠DIH═45°，CN⊥BM，求点R的坐标。

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19、如图1，△ABD内接于⊙O，AB=AD，点Q为⊙O外的一点，AQ∥BD。

(1)、求证：AQ为⊙O的切线。

(2)、如图2，点C为BD上的点，连接BC、CD、AC，过点A作AH⊥CD于点H，点N为 $\hat{A D}$ 上的点， $\hat{D N} = \hat{B C},$ 连接DN、BN，BN交AH于点E，求证：AE⊥BN。

(3)、如图3，在（2）的条件下，∠DAQ=120°，BE+DN=AC，延长EA至点F，连接DF，AF=AE，连接CF交BD于点G，连接FQ，若AQ=2BG，BD=2 $\sqrt{3}$ ，求FQ的长。

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20、如图，在△ABC中，点O为AC上的点，OA=OC=3，OB=4，连接AB、BC，AB=BC，点P、Q分别为AB、BC上的点，BP=CQ，连接PQ。

(1)、尺规作图：在AC上找一点E，连接PE、BE使得∠APE=∠CBE。（保留作图痕迹，并证明点E是如何找到的）

(2)、在（1）的条件下，点R在AC下方BC的延长线上，点R与AC的距离为 $\frac{2}{5}$ ，连接AQ交BE于点F，连接PF交BO的延长线于点M，连接QM、MR，若 $t a n ∠ Q M R = \frac{24}{23},$ 求△BPM的面积。

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