相关试卷

1、中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、已知 $3^{m} = 4 ， 3^{n} = 2$ ，则 $3^{m + n}$ =.

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3、在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定 $△ A B C$ 是直角三角形的是（　　）

A、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ B、 $a^{2} = (c - b) (c + b)$ C、 $∠ A = ∠ C$ D、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$

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4、如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”．
问题发现
（1）如图①，四边形 $A B C D$ 是“对称四边形”，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A C$ 是“对称线”，若 $A O = 4$ ， $O C = 12$ ， $C D = 13$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积是____________．
问题探究
（2）如图②，四边形 $A B C D$ 是“对称四边形”， $A C$ 是“对称线”， $∠ D A C = 45 °$ ， $∠ D C A = 30 °$ ， $A C = 6 + 6 \sqrt{3}$ ， $P$ ， $Q$ 分别为线段 $A C$ ， $B C$ 上的动点，求 $P B + P Q$ 的最小值．
问题解决
（3）如图③，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，已知点 $A (6, 6 \sqrt{3})$ ，过 $A$ 作射线 $P Q ∥ x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $P$ ， $E$ 为射线 $A Q$ 上的动点（不与点 $A$ 重合）， $G$ ， $F$ 分别为线段 $A O$ 和 $x$ 正半轴上的动点，连接 $E G$ ， $E F$ ，点 $M$ 是线段 $O E$ 与 $G F$ 的交点，并且四边形 $E G O F$ 为“对称四边形”，其中 $G F$ 是“对称线”．请问 $△ M E F$ 的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值及此时点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为点 $E$ ，延长 $C A$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A F = 4, ∠ C = 30 °$ ，求图中阴影部分的面积．

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6、为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）：

主题项目

校园安全知识竞赛成绩分析报告

数据收集

八年级学生成绩

80，80，100，90，80，

70，70，80，70，90，

70，80，100，90，60，

80，90，80，90，90

九年级学生成绩

90，90，100，80，80，

60，70，80，60，100，

60，70，90，80，90，

90，90，70，100，90

数据整理与分析

八、九年级学生成绩分析表

统计量

年级

平均数

中位数

众数

八年级

九年级

$n$

任务1

①补全条形统计图；

②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数；

③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数 $n =$ ______；

任务2

该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数；

任务3

根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由．

根据所给信息，请完成以上所有任务．

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7、计算： ${(- 1)}^{2025} - |- 7| + \sqrt{9} \times {(\sqrt{7} - π)}^{0} + {(\frac{1}{5})}^{- 1}$ ．

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8、如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是．

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9、如图，将 $△ A O B$ 沿x轴方向向右平移得到 $△ C D E$ ，点B的坐标为 $(6 ， 0)$ ， $D B = 2$ ，则点E的坐标为．

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10、如图，折叠正方形 $A B C D$ 的一边 $A D$ ，使点 $A$ 落在 $B D$ 上的点 $N$ 处，折痕 $D M$ 交 $A C$ 于点 $P$ ．若 $B M = 8$ ，则 $A P$ 的长是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4$ C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $2 \sqrt{2} - 2$

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11、如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (1, 3)$ ，点 $B (- 1, 0)$ ，点 $C (5, - 2)$ .若将 $△ A B C$ 平移得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，三角形 $A B C$ 中任一点 $P (a, b)$ 经过平移后的对应点 $P^{'}$ 的坐标是 $(a - 4, b + 1)$ ．

(1)、通过平移，画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、直接写出 $△ A B C$ 的面积是__________；

(3)、线段 $A A^{'}, C C^{'}$ 的关系是__________．

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12、探究与证明

(1)、【推理证明】
如图，GF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，DE∥BC，求证：∠1=∠2.
请补全下面的证明过程.
证明：∵GF⊥AB，CD⊥AB（已知），
∴∠BFG=∠BDC=90°（垂直的定义）.
∴GF∥CD.
∴∠2=∠（两直线平行，同位角相等）.
又：DE∥BC（已知），
∴∠1=∠.
∴∠1=∠2.

(2)、【拓展证明】
若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“∠1=∠2”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题?若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例.

(3)、【迁移应用】
如图，有下列四个条件：①GF⊥AB，②CD⊥AB，③∠1=∠2，④DE∥BC.从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有个真命题.

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13、阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务.
在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系?
小南用自己的方法进行了探究： $\sqrt{25 \times 4} = \sqrt{100} = 10,$ 而 $\sqrt{25} = 5, \sqrt{4} = 2, ∴ \sqrt{25} \times \sqrt{4} = 5 \times 2 = 10,$ 即 $\sqrt{25 \times 4} = \sqrt{25} \times \sqrt{4} .$
任务：

(1)、结合材料，猜想：当a≥0，b≥0时，请直接写出 $\sqrt{a \times b}$ 与 $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ 存在怎样的关系?

(2)、运用以上结论，计算：
① $\sqrt{36 \times 16};$
② $\sqrt{100 \times 121} .$

(3)、运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为 $\sqrt{45},$ 宽为 $\sqrt{5},$ 求长方形的面积.

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14、理解与运用
【阅读理解】设a，b是有理数，且满足 $a + \sqrt{2} b = 3 - 2 \sqrt{2},$ 求bᵃ的值.
解：由题意，得 $(a - 3) + (b + 2) \sqrt{2} = 0 .$
因为a，b都是有理数，所以a-3，b+2也是有理数.
由于 $\sqrt{2}$ 是无理数，所以a-3=0，b+2=0.
解得a=3，b=-2.
所以 $b^{a} = {(- 2)}^{3} = - 8 .$
【方法迁移】设x，y都是有理数，且满足 $x - 2 y + \sqrt{7} y = 10 + 3 \sqrt{7},$ 求x+y的值.

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15、壮族三月三的历史由来有着深厚的文化底蕴和民族特色.据史书记载，这一节日起源于壮族的原始宗教信仰，人们认为在农历三月三日这一天，大地回春、万物复苏，是神圣而重要的时刻.某学习小组为宣传三月三，分别制作正方形三月三活动照卡片和长方形封皮，如图.已知正方形卡片面积为 $100 c m^{2},$ 长方形封皮的长与宽的比为3：2，面积为 $180 c m^{2},$ 请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮当中.

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16、如图，已知AD⊥DF，EC⊥DF，∠1=∠3，∠2=∠4，求证：AE∥DF.（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由.注：填到相应的序号内）
证明：∵AD⊥DF，EC⊥DF，（已知）
∴∠BFD=∠ADF=90°（①
∴EC∥②（③
∴∠EBA=④（两直线平行，内错角相等）
∵∠2=∠4（已知）
∴∠EBA=∠4（等量代换）
∴AB∥⑤（⑥
∴∠2+⑦=180°（⑧
∴∠2+∠ADF+∠3=180°.
∵∠1=∠3（已知）
∴∠2+∠ADF+∠1=180°（等量代换）
∴⑨+∠ADF=180°，
∴AE∥DF（⑩.

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17、如图是广西六个城市旅游景点大致位置的平面示意图，每个小正方形的边长均相等，且设为1个单位长度.

(1)、请选取某一个景点为坐标原点，建立平面直角坐标系.

(2)、在（1）所建立的平面直角坐标系中，写出其中3个景点的坐标.

(3)、求出以南宁青秀山、钦州三娘湾、北海银滩为顶点的三角形面积.

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18、计算：

(1)、 $\sqrt{9} + \sqrt[3]{0} - \sqrt{{(- 2)}^{2}};$

(2)、 $∣ - 2 \sqrt{2} ∣ - \sqrt[3]{27} + \sqrt{2} .$

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19、如图，直线AB经过点O，若OC⊥OD，若∠2=40°，则∠1=.

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20、若点A（2，3）向上平移个2个单位长度，再向左平移2个单位长，经过平移后A的坐标为.

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