相关试卷

1、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，把菱形 $A B C D$ 绕着顶点A逆时针旋转 $30 °$ 得到菱形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ，点C的运动轨迹为弧 $C C^{'}$ ，则图中阴影部分的面积为．（结果保留 $π$ ）

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2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = \frac{3}{4} x + 6$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 在线段 $A O$ 上， $⊙ P$ 与 $x$ 轴交于 $M$ 、 $O$ 两点，当 $⊙ P$ 与该一次函数的图象相切时， $A M$ 的长度是（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $2$ D、 $6$

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3、如图，若 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $∠ B C D = 32 °$ ，则 $∠ A B D =$ （）

A、 $116 °$ B、 $64 °$ C、 $58 °$ D、 $32 °$

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4、一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 7 = 0$ 的根的情况是（）

A、没有实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、无法确定

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5、为激发学生对化学学科的研究兴趣，王老师计划在“空气中氧气含量的测定”“高锰酸钾制氧气”“电解水”“木炭还原氧化铜”四个实验中随机选一个在课堂上给学生演示，则“电解水”实验被选中的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6、已知正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 上一动点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A E$ 交正方形的外角 $∠ D C L$ 的平分线于点 $F$ ．

(1)、【动手操作】
如图①，在 $B A$ 上截取 $B Q = B E$ ，连接 $E Q$ ，根据题意在图中画出图形，图中 $∠ A Q E =$ _____度．

(2)、【深入探究】
$E$ 是线段 $B C$ 上的一个动点，如图②，过点 $F$ 作 $F G ∥ A E$ 交直线 $C D$ 于点 $G$ ，以 $C G$ 为斜边向右作等腰直角三角形 $H C G$ ，点 $H$ 在射线 $C F$ 上，连接 $A G$ ．试判断四边形 $A E F G$ 的形状，并证明．

(3)、【拓展应用】
$E$ 是射线 $B C$ 上的一个动点，过点 $F$ 作 $F G ∥ A E$ 交直线 $C D$ 于点 $G$ ，以 $C G$ 为斜边向右作等腰直角三角形 $H C G$ ，点 $H$ 在射线 $C F$ 上，连接 $A G$ ．若 $A B = 5$ ， $C E = 2$ ，求线段 $A G$ 的长．

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7、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E ⊥ A D$ 交 $D A$ 的延长线于点E， $A E = A D$ ．

(1)、求证：四边形 $A E B C$ 是矩形；

(2)、F为 $C D$ 的中点，连接 $A F$ ， $B F$ ．已知 $A B = 6$ ， $B F ⊥ A F$ ，求 $B F$ 的长．

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8、如图1，直线 $A B$ ： $y = m x - n (n > 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作 $A E ⊥ x$ 轴于点E，F为x轴上一点，直线 $A B$ 与直线 $A F$ 关于直线 $A E$ 对称．

(1)、若 $m = 1$ ， $A C : C D = 2 : 1$ ，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式．

(2)、在（1）的条件下，设抛物线 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x + a^{3} - a + 1 (a \neq 0)$ 的顶点为点Q，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使 $|F Q - D Q|$ 最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，过点F作 $F G ⊥ x$ 轴交 $A B$ 于点G，过点A作 $A P ⊥ F G$ 于点P，连接 $D P$ ．若k为定值，求证： $△ A D P$ 的面积为定值．

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9、最近，人工智能领域的一项重大进展是DeepSeekV3模型的推出．假设为了训练DeepSeekV3，研究团队需要处理一个包含1230000000个数据样本的数据集．用于训练DeepSeekV3的数据样本数用科学记数法表示为（）

A、 $1.23 \times 10^{8}$ B、 $1.23 \times 10^{9}$ C、 $1.23 \times 10^{10}$ D、 $1.23 \times 10^{11}$

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10、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C, D$ 是 $⊙ O$ 上两点， $C O$ 平分 $∠ B C D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、已知 $A B = 10$ ， $cos B = \frac{4}{5}$ ，求 $A E$ 的长．

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11、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为3，点E，F，G分别在边 $A B, B C, C D$ 上，且 $A F ⊥ E G$ ．当 $C F = 2 B F$ 时， $E F + A G$ 的最小值为．

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12、数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长度为半径画弧，交于点 $P$ 和点 $Q$ ，连接 $P Q$ ，以点 $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，交 $P Q$ 于点 $C$ ；以原点 $O$ 为圆心， $O C$ 长为半径画弧，交数轴于点 $M$ ，则点 $M$ 对应的数是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、5 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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13、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与 $x$ 轴交于A， $B$ 两点（点A在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、作直线 $A C$ ， $P$ 是抛物线上第一象限内的一个动点．
①如图1，当 $∠ P A B = ∠ A C O$ 时，求点 $P$ 的横坐标；
②如图2，过点 $P$ 作 $P Q ∥ y$ 轴，交直线 $A C$ 于点 $Q$ ，作 $P M ⊥ P Q$ ，交抛物线于另一点 $M$ （点 $M$ 在点 $P$ 的右侧），以 $P Q$ ， $P M$ 为邻边构造矩形 $P Q N M$ ，求该矩形周长的最小值．

(2)、将线段 $A B$ 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段 $E F$ ，若抛物线 $y = a (- x^{2} + 2 x + 3)$ （ $a \neq 0$ ）与线段 $E F$ 只有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

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14、问题情景
如图 $1$ ， $△ A B C$ 与 $△ A E F$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ A B C = ∠ A E F = 90 °$ ，求证： $△ A B E ∽ △ A C F$ ；
问题迁移
如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，连接 $A E$ ，将 $A E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $120 °$ ，得到 $E F$ ，连接 $A F$ ， $F C$ ．
$①$ 求证： $C F ⊥ B C$ ；
$②$ 连接 $B F$ ，若 $B F = \sqrt{43}$ ， $B E = 3$ ，直接写出 $B C$ ， $A F$ 的长；
问题变式
如图 $3$ ，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，点 $E$ 是对角线 $B D$ （端点除外）上的动点，连接 $A E$ ，作菱形 $A E F G$ ，使 $∠ G A E = ∠ D A B$ ， $E F$ 交 $C D$ 于点 $P$ ，若 $\frac{A B}{B E} = k + 1 (k > 0)$ ，求 $\frac{P E}{P F}$ 的值（用含有 $k$ 的式子表示）．

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15、某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径 $A B = 6 cm$ ，杯底直径 $C D = 4 cm$ ，杯壁母线 $A C = B D = 6 cm$ ．请你解决下列问题：

(1)、小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧 $E F$ 的长为______ $cm$ ，弧 $M N$ 的长为______ $cm$ ；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧 $M N$ 所在圆的圆心 $O$ ，如图3所示．求弧 $M N$ 所在圆的半径 $r$ 及它所对的圆心角的度数 $n$ ．

(2)、小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．

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16、“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等．

(1)、甲种图书和乙种图书的价格各是多少？

(2)、根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？

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17、光从真空射入介质发生折射时，入射角 $α$ 的正弦值与折射角 $β$ 的正弦值的比值 $\frac{\sin α}{\sin β}$ 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．

(1)、若光从真空射入某介质，入射角为 $α$ ，折射角为 $β$ ，且 $\sin α = \frac{3}{4}$ ， $β = 30 °$ ，求折射率；

(2)、现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点 $A$ ， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形 $A_{1} D_{1} D_{2} A_{2}$ 对角线交点 $O$ 处射入，其折射光线恰好从点 $C$ 处射出，如图②，已知 $α = 60 °$ ， $C D = 10 \sqrt{6}$ ，求 $O D$ 的长．

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18、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
（1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，若AB=3，BC=1，求BD的长．

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19、因式分解： $9 a^{3} - a =$ ．

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20、如图，在正方形 $A B C D$ 中，先以点 $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，再以 $C D$ 为直径作半圆 $O$ ，交前弧于点 $E$ ，连接 $C E$ ， $D E$ ．若 $A B = 10$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{25}{2} π - 20$ B、 $25 π - 20$ C、 $\frac{25}{2} π - 18$ D、 $25 π - 18$

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