相关试卷

1、
【项目主题】
某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题．
【实验操作】
如图1，第一小组在线段 $A B$ 的垂直平分线 $C D$ 与轮廓线的最高点的交点 $C$ 处通过测量获得以下数据（单位：米）：
小组
线段1
线段2
线段3
第一小组
$C D = 4$
$A C = 8$
$B C = 8$
（1）任务 $1$ ：请根据第一小组的数据求 $∠ A C B$ 的度数．
【建立模型】
如图2，第二小组在轮廓线 $B C$ 段上选取 $E$ 点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），在河边 $A$ 和 $B$ 处分别测量 $E$ 点的仰角，测量获得以下数据：
小组
$A$ 测 $E$ 仰角
$B$ 测 $E$ 仰角
第二小组
$∠ α = 13 °$
$∠ β = 32 °$
（2）任务 $2$ ：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由．
如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式．
【解决问题】
（3）任务 $3$ ：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒 $T$ 型的限高杆（如图 $3$ 中虚线部分），若横杆 $G H$ 长度和竖杆长度 $C Q$ 之比为 $12 : 1$ ，那么此时横向限高杆 $G H$ 离水面 $A B$ 的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计）
（4）任务 $4$ ：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点 $D$ 处 $8$ 米的地面 $M$ 、 $N$ 处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成 $45 °$ 角，如图4所示，光线交汇点 $P$ 在点 $C$ 的正上方，求光线 $P N$ 与拱桥之间的距离．

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2、【阅读材料】
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图， $A$ ， $C$ 为墙壁上的固定点，摇臂 $C B$ 绕点 $C$ 旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚 $A B$ 可自由伸缩，棚面始终保持平整，且 $C A = C B = C D = 1.5$ 米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角 $α$ 的正切值．
时刻/时
12
13
14
15
角 $α$ 的正切值
5
2.5
1.25
$m$
【问题解决】

(1)、当 $∠ A C B = 90 °$ 时．
①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角 $D$ 处，求此时刻角 $α$ 的正切值 $m$ ．
②如图3，这天13时在点 $E$ 位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离 $D E$ ．

(2)、如图4，旋转摇臂 $C B$ ，使得点 $B$ 与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁 $C D$ 的最远距离应该小于多少米？

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3、覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省粤西地区的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取200个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用 $x$ （单位：cm）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图．
组别
$x$ /cm
A
$15 \leq x < 16$
B
$16 \leq x < 17$
C
$17 \leq x < 18$
D
$18 \leq x < 19$
E
$19 \leq x < 20$
根据所给信息，解答下列问题．

(1)、在甲品种扇形统计图中，D组对应的扇形的圆心角为多少度？

(2)、从乙品种芒果测量结果的D组数据中随机抽取8个数据，具体为：18.1，18.3，18.5，18.5，18.8，18.8，18.8，18.9．
这8个数据的众数是____________．
张明同学断定此数据为乙品种芒果D组测量数据的众数，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由．

(3)、结合市场调查，按照级别评定要求（一级品质最优，二级次之，三级最次），认定D组和C组的芒果为优级产品，B组和E组为基本合格产品，A组为次果．你认为哪个品种的芒果品质更优？请说明理由．

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4、每年的3月14日为国际数学日，为庆祝国际数学日，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要80元，购买5副七巧板和4副数独棋需要150元．

(1)、分别求七巧板和数独棋的单价．

(2)、若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过800元，则数独棋最多能购买多少副？

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5、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $⊙ O$ 交 $B C$ 的中点于D， $D E ⊥ A C$ ．求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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6、对于解方程 $3 {(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4$ ，小刚的做法如下：
解：等号右边因式分解，得 $3 {(x - 2)}^{2} = (x + 2) (x - 2)$ ， ……步骤①
等号两边同时除以 $(x - 2)$ ，得 $3 (x - 2) = (x + 2)$ ， ……步骤②
去括号，得 $3 x - 6 = x + 2$ ， ……步骤③
移项、合并同类项，得 $2 x = 8$ ， ……步骤④
系数化为 $1$ ．得 $x = 4$ ． ………步骤⑤

(1)、已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）．

(2)、请给出正确的解答过程．

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7、如图， $A C$ 为半圆 $O$ 的直径， $B$ 为半圆 $O$ 上的一点，连接 $A B$ ， $B C$ ，以点 $A$ 为圆心， $A B$ 的长为半径画弧，交 $A C$ 于点 $D$ ．若 $B C = 2$ ， $A C = 4$ ，则阴影部分的面积为．（结果保留 $π$ ）

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8、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有实数根，则实数m的取值范围为．

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9、如图，在 $Rt △ B A D$ 中，延长斜边 $B D$ 到点C，使 $D C = \frac{1}{2} B D$ ，连接 $A C$ ．若 $A B = 3$ ， $A D = 4$ ，则 $\tan ∠ C A D$ 的值为（）．

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10、为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为 $x$ 米，根据题意可列方程（）

A、 $x (6 + x) = 8$ B、 $6 {(1 + x)}^{2} = 8$ C、 $x (6 - 2 x) = 8$ D、 $x (6 - x) = 8$

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11、如图，这是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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12、广州新机场于 $3$ 月 $25$ 日开工，总投资 $418$ 亿元，计划“十五五”期间建成，该项目将补齐珠江西岸民航短板，助力构建世界级机场群．数据“ $418$ 亿”用科学记数法可以表示为（）

A、 $0.418 \times 10^{11}$ B、 $4.18 \times 10^{10}$ C、 $4.18 \times 10^{9}$ D、 $418 \times 10^{8}$

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13、下列四个数中，是负整数的是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $- 3$ D、7

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14、
探究角度与线段比例之间的关系
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 1$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上，且 $C D = 2 B D$ ，连接 $A D$ 并延长至点 $E$ ，使得 $A E = A B$ ，作 $C F ∥ A E$ 交 $B E$ 延长线于点 $F$ ，连接 $A F$ 交 $B C$ 于点 $G$ ．记 $cos ∠ A B C = x$ ， $\frac{D G}{C G} = y$ ．
【图形认识】
（1）求证： $C F = 3 D E$ ．
【引元关联】
（2）设 $D E = t$ ，求 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式．
【特例计算】
（3）如图2，当 $A F ⊥ B C$ 时，分别求出 $y$ 和 $x$ 的值．
【规律研究】
（4）已知 $0 < x < 1$ ，求 $y$ 的取值范围．

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15、已知抛物线 $y = x^{2} - a x + 3$ （a为常数）经过点 $A (1, 0)$ ．

(1)、求a的值．

(2)、若抛物线向左平移n（ $n > 0$ ）个单位后仍经过点A，求n的值．

(3)、过点 $P (m, 0)$ 作x轴的垂线，交抛物线 $y = x^{2} - a x + 3$ 于点M，交直线 $y = k x$ ( $k > 0$ )于点N．当 $1 < m < 3$ 时， $M N$ 的长度随 $A P$ 的长度增大而增大，求k的取值范围．

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16、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $B C$ 为直径， $B D$ 与 $⊙ O$ 相切于点B， $B D = A C$ ，作 $D E ∥ A B$ 交 $B C$ 于点E．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ B E D$ ．

(2)、作 $O F ⊥ A C$ 于点F， $O G ⊥ D E$ 于点G．若 $sin D = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{O G}{O F}$ 的值．

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17、
【动手实践】如图1，小明将一张长为 $12 cm$ ，宽为 $6 cm$ 的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形（含拼接线）．
【观察发现】
（1）如图2，拼成的新图形是图_______（填“甲”或“乙”）．
【探索应用】
（2）若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为 $27 {cm}^{2}$ ，求此时 $D H$ 的长．

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18、小鹿和小橙进行了为期5天的跳绳集训，教练要根据两人的成绩选择一人评定为“跳绳新星”．小鹿和小橙根据自己5 天的跳绳成绩绘制如下折线统计图．

(1)、小橙对比两个统计图后说：“我的成绩上升更显著，进步更明显．”小橙的说法合理吗？_______（填“合理”或“不合理”）

(2)、根据这5次跳绳成绩，将数据整理如下表：

最高成绩（个）
平均成绩（个）
第5日相对于第1日成绩的增长率
小鹿
$\begin{array}{l} 161 \end{array}$
$\begin{array}{l} 139.6 \end{array}$
$40 %$
小橙
a
$\begin{array}{l} 138.4 \end{array}$
b
①求a和b的值．
②教练按以下方式进行评定：最高成绩高者得1分，平均成绩高者得1分，第5日相对于第1日成绩的增长率高者得2分，最终将得分高者评为“跳绳新星”．请你通过计算，说明谁会获得“跳绳新星”．

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19、如图1是一个底面为直角三角形的直三棱柱包装盒， $∠ B A C = 90 °$ ，其表面展开图如图2所示．

(1)、根据表面展开图填写实物尺寸：侧棱 $B E =$ _______ $cm$ ，底面斜边 $B C =$ _______ $cm$ ．

(2)、求直三棱柱的全面积．

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20、解方程组： $\{\begin{array}{l} x - 2 y = 4 \\ 3 x + 4 y = 7 \end{array}$ ．

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小组	线段1	线段2	线段3
第一小组	$C D = 4$	$A C = 8$	$B C = 8$

小组	$A$ 测 $E$ 仰角	$B$ 测 $E$ 仰角
第二小组	$∠ α = 13 °$	$∠ β = 32 °$

组别	$x$ /cm
A	$15 \leq x < 16$
B	$16 \leq x < 17$
C	$17 \leq x < 18$
D	$18 \leq x < 19$
E	$19 \leq x < 20$

	最高成绩（个）	平均成绩（个）	第5日相对于第1日成绩的增长率
小鹿	$\begin{array}{l} 161 \end{array}$	$\begin{array}{l} 139.6 \end{array}$	$40 %$
小橙	a	$\begin{array}{l} 138.4 \end{array}$	b

时刻/时	12	13	14	15
角 $α$ 的正切值	5	2.5	1.25	$m$