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1、探究：
（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________(用含a，b的等式表示)
应用：（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 $m^{2} - 4 n^{2} = 16$ ， $m + 2 n = 4$ ，则 $m - 2 n$ 的值为___________．
②计算： $2025^{2} - 2024 \times 2026$ ．
拓展：（3）计算： $50^{2} - 49^{2} + 48^{2} - 47^{2} + \dots + 4^{2} - 3^{2} + 2^{2} - 1^{2}$ ．

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2、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ．点 $P$ 是射线 $B C$ 上的一点，以点 $P$ 为中心将 $P A$ 顾时针旋转90°得到 $P Q$ ，连结 $A Q$ ．

(1)、如图①，当点 $Q$ 在边 $C D$ 上时，求证： $B C = A B + C Q$ ；

(2)、在图②中只用无刻度的直尺和圆规，作出 $△ A P Q$ ；（保留作图痕迹．不用写出作图过程）

(3)、如图③，设线段 $A Q$ 与射线 $C D$ 交于点 $E$ ，
①若 $A E = E Q$ ，此时线段 $C E$ 的长度为______；
②若线段 $P A$ 或 $P Q$ 与射线 $C D$ 交于点 $F$ ，过点 $P$ 作 $P G ⊥ B C$ 交 $A Q$ 于点 $G$ ，若 $S_{△ P Q G} = S_{△ A E F}$ ，直接写出 $B P$ 的长度．

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3、在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，那么我们称这样的三角形为“三倍角三角形”．

(1)、在 $△ A B C$ ， $∠ A = 35 °, ∠ B = 40 °$ ，则 $△ A B C$ ____（填“是”或“不是”）“三倍角三角形”；

(2)、若 $△ A B C$ 是“三倍角三角形”，且 $∠ B = 30 °$ ，求 $△ A B C$ 中最小内角的度数．

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4、运动会即将来临，八年级某班准备购买彩旗和气球，若购进彩旗100面，气球50个，需要1000元；购进彩旗50面，气球30个，需要550元．

(1)、求购买一面彩旗和一个气球各需多少元？

(2)、若该班准备拿出500元全部用来购买彩旗和气球，考虑实际需求，要求购进彩旗的数量不少于气球数量的6倍，且不超过气球数量的8倍，那么该班共有几种购买方案？

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 80 °$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 内一点， $∠ O B C = 10 °$ ， $∠ O C B = 30 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $C O$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $B D$ ．

(1)、 $∠ A B O$ 的度数为________， $∠ A C D$ 的度数为________；

(2)、求证： $O B = A C$ ．

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6、定义一种新运算“ $a \otimes b$ ”：当 $a \geq b$ 时， $a \otimes b = a + 2 b$ ；当 $a < b$ 时， $a \otimes b = a - 2 b$ ．例如： $3 \otimes (- 4) = 3 + (- 8) = - 5$ ， $(- 6) \otimes 12 = - 6 - 24 = - 30$ ．

(1)、填空： $(- 3) \otimes 1 =$ ________．

(2)、若 $(3 x - 5) \otimes (4 + x) = (3 x - 5) + 2 (4 + x)$ ，则 $x$ 的取值范围是________．

(3)、已知 $(3 x + 7) \otimes (- 4 x) > 1$ ，求 $x$ 的取值范围．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 上，连接 $C D$ ， $D E$ ．已知 $B C = B D$ ， $∠ C D E = 45 °$ ．

(1)、求证： $△ A C D ≌ △ B D E$ ．

(2)、若 $A C = 1$ ，求 $B E$ 的长．

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8、如图，在 $8 \times 6$ 的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：（①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．）

(1)、在图1中画出以 $B C$ 为一边，面积为6的等腰三角形 $A B C$ ．

(2)、在图2中画出 $△ A B C$ 的角平分线 $B E$ ．

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9、如图，点 $A$ ， $C$ ， $D$ ， $F$ 在同一直线上， $A B // D E$ ， $B C // E F$ ， $A F = D C$ ，求证： $△ A B C$ ≌ $△ D E F$ ．

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10、解一元一次不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 (x - 1) \geq 3 x - 5 \\ \frac{x + 3}{2} < 2 x \end{array}$ 并把解表示在数轴上．

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11、如图，在边长为8的等边三角形 $A B C$ 中，若 $M$ 是高 $A D$ 所在直线上一点，连接 $C M$ ，以 $C M$ 为边在直线 $C M$ 的右侧画等边三角形 $C M N$ ，连接 $D N$ ，则 $D N$ 长度的最小值为．

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12、若不等式组的解为 $- 1 \leq x < k$ 且只有3个整数解，则 $k$ 的取值范围是．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是高， $A E$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $∠ B = 70 °$ ， $∠ D A E = 16 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是 $°$ ．

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14、判断命题“如果 $n < 2$ ，那么 $n^{2} - 4 < 0$ ”是假命题，举出一个反例，反例中的 $n$ 可以为．

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15、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则斜边上的中线CD＝．

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16、“ $x$ 的平方与2的差大于 $y$ 的一半”用不等式表示为．

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17、如图，在纸片 $△ A B C$ 中， $∠ B A D = 30 °$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠至 $△ A D B^{'}$ ， $∠ A C B = 2 α$ ，连接 $C B^{'}$ ， $C B^{'}$ 平分 $∠ A C B$ ，则 $∠ A B D$ 的度数是（）

A、 $60 ° + \frac{α}{2}$ B、 $60 ° + α$ C、 $90 ° - \frac{α}{2}$ D、 $90 ° - α$

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18、如图， $I$ 是 $△ A B C$ 三条角平分线的交点， $△ A B I$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ A C I$ 的面积记为 $S_{2}$ ， $△ B C I$ 的面积记为 $S_{3}$ ，且 $S_{3} = 6$ ，则 $S_{1} + S_{2}$ 的值可能为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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19、若方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = k + 1 \\ x + 2 y = 3 \end{array}$ 的解为 $x$ ， $y$ ，且 $x + y > 2$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 2$ B、 $k > - 2$ C、 $k < 2$ D、 $k < - 2$

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20、下列命题的逆命题为真命题的是（）

A、等边三角形是锐角三角形 B、如果两个角是直角，那么它们相等 C、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D、对顶角相等

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