相关试卷

1、如图，点E在 $B C$ 的延长线上，在下列四个条件中，不能判定 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 3 = ∠ 4$ C、 $∠ B = ∠ D C E$ D、 $∠ D + ∠ D A B = 180 °$

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2、综合与探究：运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．
在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片（图1）、一棵生长的幼苗（图2）都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数 $y = - a x^{2} + 4 a x + 4 a + 1$ 图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点 $D$ 的坐标；
【任务二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，心形叶片的对称轴直线 $y = x + 2$ 与坐标轴交于 $A, B$ 两点，抛物线与 $x$ 轴交于另一点 $C$ ，点 $C, C_{1}$ 是叶片上的一对对称点， $C C_{1}$ 交直线 $A B$ 于点 $G$ ．求叶片此处的宽度 $C C_{1}$ ；
【任务三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数 $y = - a x^{2} + 4 a x + 4 a + 1$ 图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务一中的二次函数．已知直线 $P D$ （点 $P$ 为叶尖）与水平线的夹角为 $45 °$ ，求幼苗叶片的长度 $P D$ ．

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3、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 于点 $D, O$ 是斜边 $A B$ 上一点，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 的长为半径的 $⊙ O$ 恰好经过点 $D$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 3, C D = \frac{3}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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4、第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为 $x$ 元 $(x > 45)$ ．

(1)、请你写出销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）的函数关系式．

(2)、若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价 $x$ 应为多少元？

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5、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，C是 $⊙ O$ 外一点， $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A B$ 交过C点的直径于点D， $O A ⊥ C D$ ，试判断 $△ B C D$ 的形状，并说明你的理由．

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6、解下列方程：

(1)、 ${(x + 1)}^{2} - 81 = 0$ ．

(2)、 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ ．

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7、如图，扇形 $A O B$ 的圆心角为直角，边长为2的正方形 $O C D E$ 的顶点分别在半径 $O A$ 、 $O B$ 和弧 $A B$ 上．则阴影部分的面积为．

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8、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，若 $C D = 8$ ， $O E = 3$ ，则 $⊙ O$ 的半径为．

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9、将抛物线 $y = 3 x^{2}$ ，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式是．

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10、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2}$ 的值为．

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11、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于点 $A (6, 0)$ ，顶点坐标为 $(2, - 4)$ ，结合图象分析如下结论： $①$ $a b c > 0$ ； $②$ 当 $0 < x < 3$ 时，y随x的增大而增大； $③$ ${(a + c)}^{2} - b^{2} > 0$ ； $④$ $b^{2} - 16 a > 4 a c$ ．其中正确的有（）

A、 $①$ $②$ B、 $①$ $③$ C、 $②$ $③$ D、 $②$ $④$

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12、如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分，它的对称轴是直线 $x = - 1$ ，与x轴的一个交点为 $(2, 0)$ ，则与x轴的另一个交点为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $(- 3.5, 0)$ D、 $(- 4 ， 0)$

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13、下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、如图1，已知 $∠ A O B$ ，在 $∠ A O B$ 内部画射线 $O C$ 得到三个角，分别为 $∠ A O C$ ， $∠ B O C$ ， $∠ A O B$ ．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线 $O C$ 为 $∠ A O B$ 的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于 $0 °$ 且小于 $180 °$ 的角）
阅读理解：
（1）角的平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
初步应用：
（2）如图1，若 $∠ A O B = 72 °$ ，射线 $O C$ 为 $∠ A O B$ 的“幸运线”，求 $∠ A O C$ 的度数；
解决问题：
（3）如图2，已知 $∠ A O B = 72 °$ ，射线 $O M$ 从 $O A$ 出发，以每秒 $12 °$ 的速度绕点O顺时针旋转，同时射线 $O N$ 从 $O B$ 出发，以每秒 $15 °$ 的速度绕点O顺时针旋转，设旋转的时间为t秒（ $0 < t < 6$ ）．若 $O M$ ， $O N$ ， $O B$ 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求t的值．

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15、【阅读材料】
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把 $(a + b)$ 看成一个整体，则 $4 (a + b) - 2 (a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1) (a + b) = 3 (a + b)$
【尝试应用】
（1）已知 $4 a - b = 3$ ， $x = - 4$ ， $y = - \frac{1}{2}$ ，求 $2 a x - 16 b y^{3} - (12 a - 3 b) + 2026$ 的值；
【拓展探索】
（2）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图1，2两种方式摆放，已知 $a + b = 32, a - b = 16$ ，请观察图形，求图2中阴影部分的面积．

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16、教科书中这样写道：“我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能求代数式的最大值、最小值．如： $x^{2} + 2 x - 3 = (x^{2} + 2 x + 1) - 4 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$ ，如：求代数式 $2 x^{2} + 4 x - 6$ 的最小值． $2 x^{2} + 4 x - 6 = 2 (x^{2} + 2 x - 3) = 2 {(x + 1)}^{2} - 8$ ．可知当 $x = - 1$ 时， $2 x^{2} + 4 x - 6$ 有最小值，最小值是 $- 8$ ．根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)、分解因式： $x^{2} - 4 x - 5 =$ ______．

(2)、当 $x$ 为何值时，多项式 $x^{2} - 4 x + 3$ 有最小值？并求出这个最小值．

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17、材料1：一般地， $n$ 个相同因数 $a$ 相乘： $\underset{n 个}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a \cdot a}}$ 记为 $a^{n}$ ，如 $2^{4} = 16$ ，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为 ${log}_{2} 16$ （即 ${log}_{2} 16 = 4$ ）．
（1）计算： ${log}_{3} 27 =$ ________， ${({log}_{2} 8)}^{2} + \frac{1}{2} {log}_{3} 9 =$ ________；
材料2：新规定一种运算法则：自然数1到 $n$ 的连乘积用 $n!$ 表示，例如： $1! = 1$ ， $2! = 2 \times 1 = 2$ ， $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ ， $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ ， ⋯，在这种规定下：
（2）求出满足该等式的 $x$ ： $\frac{|x - 1| \cdot 6!}{7!} = 1$ ；
（3）当 $x$ 为何值时， $|x + {log}_{4} 16| + |x - 5| = 11$ ．

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18、综合与实践．
一块材料的形状是锐角三角形 $A B C$ ，边 $B C = 120 mm$ ，高 $A D = 80 mm$ ．
【特例初探】
（1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在 $B C$ 上，其余两个顶点分别在 $A B$ 和 $A C$ 上．这个正方形零件的边长是多少？
【迁移运用】
（2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽 $E G$ 为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？

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19、多项式 $2 x^{2} - 8$ 彻底因式分解的结果是（）

A、 $2 (x^{2} - 4)$ B、 $2 (x + 4) (x - 4)$ C、 $(2 x + 2) (x - 4)$ D、 $2 (x + 2) (x - 2)$

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20、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3,0)$ ， $B (1,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图甲，在 $y$ 轴上找一点 $D$ ，使 $△ A C D$ 为等腰三角形，请直接写出点 $D$ 的坐标；

(3)、如图乙，点 $P$ 为抛物线对称轴上一点，是否存在 $P$ 、 $Q$ 两点使以点 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出 $P$ 、 $Q$ 两点的坐标，若不存在，请说明理由．

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