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1、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C A = C B$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，点 $E$ 在边 $A B$ 的延长线上，且 $D A = D E$ .

(1)、设 $∠ D A E = α$ ，求 $∠ B D E$ 的度数(用含 $α$ 的代数式表示)；

(2)、如图2，过点 $D 作 D F ∥ A E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，求证： $E B = D F$ ；

(3)、如图3，在边 $A B$ 上取点 $M$ ，使 $∠ C M D = 45 °$ ，作 $C N ⊥ C M 交 M D$ 的延长线于点 $N$ .若 $M D = 2 ， D N = 1$ ，求 $B E$ 的长.

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2、定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程 $2 x - 1 = 1$ 的解是 $x = 1$ ，同时 $x = 1$ 也是不等式 $x + 1 > 0$ 的解，则称方程 $2 x - 1 = 1$ 是不等式 $x + 1 > 0$ 的“智惠方程”．

(1)、在下列方程① $5 (x + 2) - (x + 4) = 26$ ；② $9 x - 7 = 20$ ；③ $6 - 2 (x - 3) = 0$ 中，不等式 $3 (x - 1) - x \leq 5$ 的“智惠方程”是；（填序号）

(2)、若关于 $x$ 的方程 $\frac{x + 5}{2} - 3 m = 0$ 是关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{x + 2 m}{2} > m \\ x - m \leq 2 m + 1 \end{matrix}$ 的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求 $m$ 的取值范围．

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3、如图， $C A = C D ， C B = C E ， ∠ A C D = ∠ B C E ， A B 与 D E$ 交于点 $M$ ，连结 $M C$ ．

(1)、求证： $A B = D E$ ；

(2)、过点 $C 作 C G ⊥ A B$ 于点 $G ， C H ⊥ D E$ 于点 $H$ ，求证： $C G = C H$ ；

(3)、若 $∠ A C D = 30 °$ ，求 $∠ B M C$ 的度数（直接写出答案）．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 45 ° ， A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D ， B E ⊥ A C$ ，垂足为 $E ， A D 与 B E$ 相交于点 $F$ ．

(1)、试判断线段 $A F 与 B C$ 的数量关系，并说明理由；

(2)、若 $∠ A B C = 67.5 °$ ，试猜想线段 $A F 与 B D$ 的数量关系，并说明理由．

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5、在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 7 ， B C = 24 ， C D = 20 ， A D = 15 ， ∠ B = 90 °$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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6、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C 交 B C$ 于点 $D ， A E ⊥ B C 于 E$ ．若 $∠ B = 40 ° ， ∠ C = 60 °$ ，求 $∠ D A E$ 的度数．

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7、如图，在正方形网格中点 $A ， B ， C$ 均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：

(1)、作出 $△ A B C$ 关于直线 $l$ 的对称图形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、在直线 $l$ 上找一点 $D$ ，使 $A D + C D$ 最小；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积.

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8、

(1)、解不等式： $3 x - 1 \geq 2 (x + 2)$ ，并把解集表示在数轴上；

(2)、解不等式组： $\{\begin{matrix} 6 x + 2 > 3 x \\ \frac{2 x - 1}{3} \leq \frac{x - 2}{2} + 1 \end{matrix}$ .

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9、如图，四边形 $A B C D$ 为长方形，长 $A B = 10$ ，宽 $A D = 4$ ，点 $E 是 A B$ 的中点，点 $P$ 在线段 $C D$ 上运动，连接 $A P, P E$ ．
⑴当 $A P =$ 时， $△ A P E$ 是以 $A P$ 为斜边的直角三角形；
⑵当 $D P = a$ 时， $△ A P E$ 是等腰三角形，则所有满足条件的 $a$ 的值的和为.

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10、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C$ 为直角， $A C = 12, B C = 5$ ，将直角边 $B C 沿 B P$ 折叠，使它落在斜边 $A B$ 上，点 $C$ 与点 $C^{'}$ 重合，则线段 $A P$ 的长度为.

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11、某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠.小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔.已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔支.

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ B = 30 ° ， A D$ 平分 $∠ B A C ， E 是 A D$ 中点，若 $B D = 8$ ，则 $C E$ 的长为.

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13、如图， $△ A B C ≌ △ D E F$ .若 $A E = 15 ， B D = 3$ ，则 $△ A B C$ 中边 $A B$ 的长是.

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14、列不等式： $x$ 的4倍小于2.

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15、如图，在 $△ A B C$ 纸片中， $B C = 5$ ，且 $S_{△ A B C} = 15 ， P$ 为线段 $B C$ 上一点，将纸片沿 $A P$ 剪开，并将 $△ A B P 、 △ A C P$ 分别沿 $A B 、 A C$ 向外翻折至 $△ A B D 、 △ A C E$ ，连接 $D E$ ，当 $∠ B A C = 30 °$ 时， $△ A D E$ 面积的最小值为（）

A、 $15$ B、 $3 \sqrt{27}$ C、 $4 \sqrt{27}$ D、 $6 \sqrt{27}$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C, B F = C D, B D = C E$ .若 $∠ F D E = α$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 α + ∠ A = 180 °$ B、 $α + ∠ A = 90 °$ C、 $2 α + ∠ A = 90 °$ D、 $α + ∠ A = 180 °$

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17、如图，数轴上点 $A$ 和点 $B$ 分别表示数 $a 和 b$ ，则下列式子错误的是（）

A、 $|b| < |a|$ B、 $a b < 0$ C、 $(a + 1) (b - 1) > 0$ D、 $(a - b) (a + b) < 0$

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18、如图，在 $△ A B C$ 中，分别以顶点 $A ， B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点 $M ， N$ ，连接 $M N$ ，分别与边 $A B ， B C$ 相交于点D，E，若 $A C = 8 ， △ A E C$ 的周长为17，则 $B C$ 的长为（）

A、8 B、9 C、10 D、17

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19、若 $a < b$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $- 2 a < - 2 b$ B、 $a^{2} + 1 < b^{2} + 1$ C、 $\frac{2}{a} > \frac{2}{b}$ D、 $a - 1 < b + 1$

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20、如图，在 $△ A B C 与 △ A D C$ 中， $A B = A D, C B = C D, ∠ B A D = 50 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是（）

A、100° B、50° C、25° D、26°

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