相关试卷

1、综合与探究
【定义】如图1，点 $C$ 把线段 $A B$ 分成两条线段 $A C$ 和 $B C$ ，如果 $A B = \sqrt{2} A C$ ，那么称点 $C$ 为线段 $A B$ 的 $\sqrt{2}$ 分割点．

(1)、【理解】如图2，在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B = 2$ ，点 $P$ 是 $A B$ 的 $\sqrt{2}$ 分割点，求 $A P$ 的长；

(2)、【应用】如图3，在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ，点 $P$ 是 $A B$ 的 $\sqrt{2}$ 分割点，点 $D$ 在 $A B$ 的上方， $△ A P D ∽ △ C P B$ ， $A D$ 与 $C P$ 相交于点 $E$ ， $P D$ 与 $B C$ 相交于点 $F$ ，求证： $△ C P B ∽ △ C F P$ ；

(3)、【拓展】如图4，在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ，点 $G$ ， $H$ 同时从点 $A$ 出发，分别以 $1$ 个单位 $/$ 秒和 $\sqrt{2}$ 个单位 $/$ 秒的速度沿 $A C$ ， $A B$ 方向运动，以 $G H$ 为边向右作 $△ G H D ∽ △ C H B$ ，直线 $G D$ 与 $C B$ ， $C H$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，当点 $G$ 运动至 $A C$ 的 $\sqrt{2}$ 分割点时，直接写出 $\frac{G D}{G M}$ 的值．

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2、综合与实践
【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律．
【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度 $v$ （米/秒）与运动时间 $t$ （秒）的关系式为 $v = v_{0} - g t$ ，小球距离抛出点的竖直距离 $y$ （米）与运动时间 $t$ （秒）的关系式为 $y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ，其中 $v_{0}$ ， $g$ 是常数， $v_{0}$ 代表小球抛出时的初速度， $g$ 的值取 $10$ 米/秒 $^{2}$ ；
【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔 $1$ 秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞）
【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离 $y$ （米）与运动时间 $t$ （秒）的关系图象是顶点为 $(3, 45)$ ，经过原点的抛物线（如图所示）．
【实验任务】

(1)、求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离 $y$ （米）与运动时间 $t$ （秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度 $v_{0}$ 的值；

(2)、①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离 $y$ （米）与运动时间 $t$ （秒）的关系图象；
②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明；

(3)、观察图像，求第一个小球抛出后与第 $n (n > 1)$ 个小球相遇时经历的时间 $T$ （秒）与 $n$ 的关系式．

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3、如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点C，连接 $A C$ ， $B C$ ．过点O作 $O E ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点E，交 $⊙ O$ 于点D，过点D作 $D F ∥ A C$ ，交 $A B$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $B D$ ，若 $A C = 8$ ， $O D = 5$ ，求 $△ B D F$ 的面积．

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4、已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，且 $A B < A D$ ，点F是 $A D$ 上一点， $A F = A B$ ．

(1)、如图1，点E在 $B C$ 上，连接 $A E$ ， $E F$ ，在不添加新的辅助线的前提下，请增加一个条件：_________，使得四边形 $A B E F$ 是菱形；

(2)、如图2，请在 $B C$ 上求作与点B，C不重合的两点G，H，连接 $A G$ ， $H F$ ，使得四边形 $A G H F$ 是菱形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

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5、2026年年初，一款玩偶产品以其独特的情绪价值爆火，广受年轻人的青睐．已知这种产品需要多种原料，记其中两种原料分别为 $A$ ， $B$ ．某企业购进了这两种原料 $A$ ， $B$ ，其中购进 $48$ 千克 $A$ 材料和 $20$ 千克 $B$ 材料的总价与购进 $24$ 千克 $A$ 材料和 $32$ 千克 $B$ 材料的总价相同，设这两种材料的单价分别为 $x$ ， $y$ （单位：元/千克）．

(1)、试求x，y之间的等量关系；

(2)、当购进 $48$ 千克 $A$ 材料和 $20$ 千克 $B$ 材料的总价为 $8.8$ 万元时，求x，y的值．

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6、随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为 $420 k m$ ．该汽车租赁公司有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为 $300$ 元/辆， $380$ 元/辆， $500$ 元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】

(1)、小明共调查了_________辆 $A$ 型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；

(2)、在 $A$ 型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“ $390 k m$ ”对应的圆心角度数为 $°$ ；

(3)、【分析数据】
型号
平均里程（ $k m$ ）
中位数（ $k m$ ）
众数（ $k m$ ）
$A$
$400$
$400$
$410$
$B$
$432$
$m$
$440$
$C$
$453$
$450$
$n$
由上表填空： $m =$ ， $n =$ ；

(4)、【判断决策】
结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．

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7、计算： $\sqrt{9} + 2 cos 30 ° + ∣ \sqrt{3} - 2 ∣ + {(- 1)}^{2026}$ ．

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8、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 内接正 $n$ 边形的一条边，若 $∠ A C B = 144 °$ ，则 $n =$ ．

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9、如图，在边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ，以点 $E$ 旋转中心将线段 $A E$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $F E$ ，连接 $A F$ ， $F E$ 交边 $C D$ 于点 $G$ ， $H$ ，则 $G H$ 的长为（）．

A、 $3$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{3}{2}$

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10、已知某产品的利润为 $80$ 元 $/$ 件，每天销量为 $240$ 件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升 $2$ 元 $/$ 件时，每天销量下降 $4$ 件．设某天的售价上升 $m$ 元 $/$ 件时，该天的利润达 $20000$ 元，则可列方程( )

A、 $(80 + 2 m) (240 - 4 m) = 20000$ B、 $(80 + m) (240 - 4 m) = 20000$ C、 $(80 + 2 m) (240 - 2 m) = 20000$ D、 $(80 + m) (240 - 2 m) = 20000$

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11、下列运算正确的是（　　）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 ${(a - 3)}^{2} = a^{2} - 9$

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12、化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式．若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略）
① $2 {KMnO}_{4} = K_{2} {MnO}_{4} + {MnO}_{2} + O_{2} ↑$ ② $2 H_{2} O_{2} = 2 H_{2} O + O_{2} ↑$
③ $Zn + H_{2} {SO}_{4} = {ZnSO}_{4} + H_{2} ↑$ ④ $Ca {(OH)}_{2} + {CO}_{2} = {CaCO}_{3} ↓ + H_{2} O$
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、如图，在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”．关于它的三视图，下列说法正确的是（）

A、它的主视图是直角三角形 B、它的左视图是矩形 C、它的俯视图是直角三角形 D、它的主视图是矩形

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14、春节期间，深圳市的气温变化频繁．某天，最高气温下降了 $3 ° C$ ，最低气温上升了 $1 ° C$ ．如果气温下降 $3 ° C$ 记为 $- 3 ° C$ ，则上升 $1 ° C$ 记为（）

A、 $+ 3 ° C$ B、 $+ 1 ° C$ C、 $- 1 ° C$ D、 $- 2 ° C$

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15、如图， $▱ A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ ，点 $P$ 为 $A B$ 边上一动点（不与点 $A$ ， $B$ 重合）， $P E ⊥ O A$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ O B$ 点 $F$ ，若 $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，则 $E F$ 的最小值为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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16、在数学实践课上，学习兴趣小组对正方形 $A B C D$ 展开探究：

(1)、【操作发现】
如图 $①$ ，在正方形 $A B C D$ 中， $A E = D F$ ，连接 $A F$ 、 $B E$ ，易得 $△ A B E ≌ △ D A F$ ，将 $A F$ 向下平移到 $G H$ ，则 $B E$ 与 $G H$ 的数量关系为，位置关系为；

(2)、【问题探究】
如图 $②$ ，将正方形纸片沿 $M N$ 折叠，点A落在 $B C$ 边上的点 $A^{'}$ 处，连接 $A A^{'}$ 交折痕 $M N$ 于点 P，若 $A B = 4$ ， $M N = 5$ ．求此时 $P N$ 的长；

(3)、【拓展延伸】
如图 $③$ ，若正方形的边长为a，将正方形纸片沿 $M N$ 折叠，点A落在 $B C$ 边上的点 $A^{'}$ 处，连接 $A A^{'}$ 与 $M N$ 交于点P，取 $A D$ 的中点Q，连接 $P Q$ ， $P B$ ，当 $P B + P Q$ 最小时，求折痕 $M N$ 的长（用含a的式子表示）．

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17、综合实践题
小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：材料准备：准备三根长度均为 $L$ 的铁丝．
探究1：小明先将第一根铁丝截成两段（ $4 a$ 和 $4 b$ ），分别围成边长为 $a$ 和 $b$ 的正方形；再将第二根铁丝均分（每段 $2 a + 2 b$ ），围成两个长为 $b$ 、宽为 $a$ 的长方形（如图1：两个正方形和两个长方形示意图）．
探究2：小红用第三根铁丝直接围成边长为 $(a + b)$ 的大正方形（如图2：大正方形示意图），

(1)、用 $S_{1}$ 表示小明做的2个正方形和2个长方形的面积和，用 $S_{2}$ 表示小红做的正方形的面积则 $S_{1} =$ ___________； $S_{2} =$ ___________．

(2)、通过图形拼合（如图3）猜想 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的关系，并用含 $a$ 、 $b$ 的式子写出数量关系；

(3)、应用：根据（2）中的等量关系，试解决如下问题：
①已知： $a + b = 7 ， a^{2} + b^{2} = 19$ ，求 $a b$ 的值；
②已知 ${(2024 - x)}^{2} + {(x - 2025)}^{2} = 7$ ，求 $(2024 - x) (x - 2025)$ 的值．

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18、若 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 可取下列中（）

A、 $- 1$ B、3 C、2 D、0

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19、如图，睢阳区某学校为保护自己的劳动实践基地在四周围上了竹篱笆，竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线 $a ∥ b$ 的是（）

A、 $∠ 4 = ∠ 2$ B、 $∠ 2 = ∠ 3$ C、 $∠ 3 = ∠ 4$ D、 $∠ 4 = ∠ 5$

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20、综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔 $A B$ 的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点E，C，D依次在一条水平线上， $E D = 182 m$ ， $E D ⊥ A B$ ，垂足为点C．在D处测得信号塔顶端A的仰角（ $∠ A D C$ ）为 $66 °$ ，在E处测得信号塔顶端A的仰角（ $∠ A E C$ ）为 $45 °$ ，测得信号塔底端B的仰角（ $∠ B E C$ ）为 $31 °$ ．参考数据： $\tan 66 °$ 取 $2.25$ ， $\tan 31 °$ 取0.60．

(1)、求线段 $A C$ 的长；

(2)、求信号塔 $A B$ 的高度（结果取整数）．

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型号	平均里程（ $k m$ ）	中位数（ $k m$ ）	众数（ $k m$ ）
$A$	$400$	$400$	$410$
$B$	$432$	$m$	$440$
$C$	$453$	$450$	$n$