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1、定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 都是等腰三角形，其中 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，则 $△ A B D ≌ △ A C E (SAS)$ ．

(1)、如图②， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 都是等腰三角形， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，且 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，求证： $B D = C E$ ．

(2)、如图③若 $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ，点A，D，E在同一条直线上， $C M$ 为 $△ D C E$ 中 $D E$ 上的高，连接 $B E$ ，求 $∠ A E B$ 的度数以及线段 $C M$ ， $A E$ ， $B E$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3)、如图④，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $C D = 3$ ， $∠ A B C = ∠ A C B = ∠ A D C = 45 °$ ，求 $B D$ 的长．

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2、【问题提出】
（1）已知：如图1所示， $A D ⊥ D E$ 于点D， $B E ⊥ D E$ 于点E，点C在线段 $D E$ 上， $A C = B C$ ，且 $A C ⊥ B C$ ．求证：
① $△ A D C ≌ △ C E B$ ．
② $B E = D E - A D$ ．
【问题解决】
（2）如图2所示，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧， $A C ⊥ B C$ ，若 $A D = A C = B C = B E = 5 cm$ ， $C D = 6 cm$ ，求 $△ B C E$ 的面积．

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3、如图，已知 $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是射线 $B A$ ， $C B$ ， $A C$ 上的点，且 $A D = B E = C F$ ，连结 $D E$ ， $E F$ ， $D F$ ．

(1)、求证： $D E = E F$ ；

(2)、试判断 $△ D E F$ 的形状，并说明理由．

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4、如图， $B E = C F, D E ⊥ A B$ 的延长线于点 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，且 $D B = D C$ ．

(1)、求证： $△ B D E ≌ △ C D F$ ；

(2)、若 $∠ E A D = 25 °$ ，求 $∠ C$ 的度数．

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5、如图，点 $B$ ， $F$ ， $C$ ， $E$ 在同一条直线上， $B F = E C$ ， $A B = D E$ ， $∠ B = ∠ E$ ．求证： $A C = D F$

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6、如图，点D在 $A B$ 上，点E在 $A C$ 上， $B E, C D$ 相交于点O．

(1)、若 $∠ A = 50 °, ∠ B O D = 70 °, ∠ C = 25 °$ ，求 $∠ B$ 的度数；

(2)、试猜想 $∠ B O C$ 与 $∠ A + ∠ B + ∠ C$ 之间的关系，并证明你的猜想．

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7、在 $△ A B C$ 中，利用直尺（没有刻度）和圆规作图(要求保留作图痕迹，不必写出作法）：

(1)、作出 $A C$ 边上的中线 $B D$ ；

(2)、作出 $△ A B C$ 的角平分线 $A E$ ．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $A E$ 是 $B C$ 边上的中线．若 $∠ B = 30 ° ， D E = 2$ ．则 $A C =$ ．

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9、根据数量关系列不等式： $x$ 的3倍与 $y$ 的差大于2．．

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10、下列各语句是真命题的是（）

A、三个角对应相等的三角形全等 B、等角对等边 C、等腰三角形的对称轴是顶角平分线 D、三角形任何两边的和大于第三边

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11、如果 $a > b$ ，那么下列结论一定正确的是( )

A、 $1 + a > 1 + b$ B、 $a - 3 < b - 3$ C、 $- 3 a > - 3 b$ D、 $a c > b c$

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12、已知三角形两边的长分别是 $3$ 和 $7$ ，则第三边的长可以是（）

A、 $3$ B、 $10$ C、 $6$ D、 $16$

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13、如图，直线 $l_{1}$ 的解析表达式为： $y = - 3 x + 3$ ，且 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，直线 $l_{2}$ 经过点 $A$ ， $B$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交于点 $C$ ．

(1)、求点D的坐标；

(2)、求直线 $l_{2}$ 的解析表达式；

(3)、求 $△ A D C$ 的面积；

(4)、在直线上存在异于点C的另一点P，使得 $△ A D P$ 与 $△ A D C$ 的面积相等，求点P的坐标．

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14、周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设张洋的采摘量为 $x (x > 0)$ 千克，按甲方案所需总费用为 $y_{1}$ 元，按乙方案所需总费用为 $y_{2}$ 元．

(1)、当采摘量超过10千克时，分别求出 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 关于x的函数表达式；

(2)、若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由．

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15、在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = B C$ ，点D为 $A B$ 中点， $∠ G D H = 90 °$ ， $∠ G D H$ 绕点D旋转， $D G, D H$ 分别与边 $A C$ ， $B C$ 交于E，F两点，下列结论：
① $A E + B F = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ；② $A E^{2} + B F^{2} = E F^{2}$ ；③ $S_{四边形 C E D F} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ；④ $△ D E F$ 始终为等腰直角三角形，其中正确的是

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16、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 $A C = 6 cm$ ， $B C = 8 cm$ ．现将直角边 $A C$ 沿直线 $A D$ 折叠，使它落在斜边 $A B$ 上，且与 $A E$ 重合，则 $C D$ 的长等于 $cm$ ．

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17、如图，直线 $y = x + 2$ 与直线 $y = a x + c$ 相交于点 $P (m, 3)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $x + 2 \geq a x + c$ 的解集为．

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18、如图，在平面直角坐标系中，一动点自点 $A_{0} (- 1, 0)$ 处向上平移1个单位长度至点 $A_{1} (- 1, 1)$ 处，然后向右平移2个单位长度至点 $A_{2} (1, 1)$ 处，再向下平移3个单位长度至点 $A_{3} (1, - 2)$ 处，再向左平移4个单位长度至点 $A_{4} (- 3, - 2)$ 处……按此规律平移下去，若这点平移到点 $A_{2024}$ 处时，则点 $A_{2024}$ 的坐标是（）

A、 $(1013, 1012)$ B、 $(- 1013, 1012)$ C、 $(- 1013, - 1012)$ D、 $(- 1012, - 1013)$

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19、某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系．若点燃6分钟后，高度下降 $3.6 cm$ ，则长 $22 cm$ 的此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为（）

A、 $11 cm$ B、 $12 cm$ C、 $13 cm$ D、 $14 cm$

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20、下面四幅作品分别代表“惊蛰”“谷雨”“立秋”“冬至”，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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