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1、两个边长分别为 $a$ 和 $b$ 的正方形如图放置（图 $1$ ），其未叠合部分（阴影）面积为 $S_{1}$ ；若再在图 $1$ 中大正方形的右下角摆放一个边长为 $b$ 的小正方形（如图 $2$ ），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 $S_{2}$ ．

(1)、若 $a + b = 8$ ， $a b = 16$ ，求 $S_{1} + S_{2}$ 的值；

(2)、当 $S_{1} + S_{2} = 20$ 时，求出图 $3$ 中阴影部分的面积 $S_{3}$ ．

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2、已知： $2^{a} = 3$ ， $2^{b} = 5$ ， $2^{c} = 75$ ．

(1)、求 $2^{c + b - a}$ 的值；

(2)、证明： $c = a + 2 b$ ．

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3、（1）若x，y满足等式 $x = \sqrt{y - 3} + \sqrt{3 - y} + 9$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的平方根；
（2）已知 $x - 2$ 的平方根是 $\pm 2$ ， $2 x + y + 7$ 的立方根是3，求 $x^{2} + y^{2}$ 的算术平方根．

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4、分解因式

(1)、 $9 a^{2} (x - y) + 4 b^{2} (y - x)$ ；

(2)、 $9 m^{2} - n^{2} - 6 m + 2 n$ ．

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5、计算

(1)、 $- 1^{2021} + \sqrt{{(- 1)}^{2}} + \sqrt[3]{- 8} - |\sqrt{3} - 2|$

(2)、 ${(2 x^{2} y)}^{3} \cdot (5 x y^{2}) \div (- 2 x^{2} y^{4})$

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6、若 $x^{2} - 2 x + 1 + |y + 1| = 0$ ，则 $x + y =$

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7、我们知道，任意一个正整数 $n$ 都可以进行这样的分解： $n = p \times q$ （ $p$ ， $q$ 是正整数，且 $p \leq q$ ），在 $n$ 的所有这种分解中，如果 $p$ ， $q$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $p \times q$ 是 $n$ 的最佳分解，并规定： $F (n) = \frac{p}{q}$ ．例如：12可以分解成 $1 \times 12$ ， $2 \times 6$ 或 $3 \times 4$ ，因为 $12 - 1 > 6 - 2 > 4 - 3$ ，所以 $3 \times 4$ 是12的最佳分解，所以 $F (12) = \frac{3}{4}$ ．如果一个两位正整数 $t$ ， $t = 10 x + y$ （ $1 \leq x \leq y \leq 9$ ， $x$ ， $y$ 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 $36$ ，那么我们称这个数 $t$ 为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有：（）
（1） $F (48) = \frac{3}{4}$ ；（2） $15$ 和 $26$ 是“吉祥数”；（3）“吉祥数”中， $F (t)$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$ ；（4）如果一个正整数 $m$ 是另外一个正整数 $n$ 的平方，我们称正整数 $m$ 是完全平方数，则对任意一个完全平方数 $m$ ，总有 $F (m) = 1$ ；

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8、若 ${(a - b)}^{2} = 3$ ， ${(a + b)}^{2} = 7$ ，则 $a^{2} + b^{2} - 3 a b - 2$ 的值为（　　）

A、0 B、2 C、3 D、4

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9、已知 $x^{2} + (k - 1) x + 16$ 是一个完全平方式，则 $k$ 的值是（）

A、5 B、9或 $- 7$ C、 $- 3$ D、 $\pm 9$

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10、下列运算：① ${(3 x + y)}^{2} = 9 x^{2} + y^{2}$ ；② ${(3 a^{2})}^{2} = 6 a^{4}$ ；③ ${(- x - y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ ；④ ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = x^{2} - 2 x + \frac{1}{4}$ ．其中，运算正确的有(　　)

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11、在 $3.14$ ， $π$ ， $3 .212212221$ ， $\sqrt{3}$ ， $- \frac{22}{7}$ ， $2 \sqrt{5}$ ， $2.1212212221 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ （在相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数为（）

A、5 B、2 C、3 D、4

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12、在矩形 $A B C D$ 中，E是 $A B$ 边上一点，连接 $C E$ ，将 $△ B C E$ 沿 $C E$ 翻折得到 $△ F C E$ ．

(1)、如图1，若 $A B = 6 ， B C = 8$ ，当点F在矩形对角线 $A C$ 上时，求 $B E$ 的长；

(2)、如图2，当点F在 $A D$ 上时，若 $A B = 6 ， B C = 2 B E$ ，求 $B C$ 的长；

(3)、如图3，若 $\frac{C D}{B C} = \frac{3}{4}$ ，延长 $E F$ ，与 $∠ D C F$ 的平分线交于点G， $C G$ 交 $A D$ 于点，求 $\frac{F H}{A D}$ 的值．

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13、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = 2 x + 4$ 与x轴，y轴分别交于A， B两点，直线 $y = - x + 1$ 与x轴，y轴分别交于C，D两点，这两条直线相交于点P．

(1)、求点P的坐标；

(2)、在坐标平面内是否存在一点Q，使以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、在x轴上是否存在一点M，使 $∠ O B M = ∠ O A B$ ？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

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14、如图，P是 $▱ A B C D$ 的边 $B C$ 的延长线上任意一点， $A P$ 分别交 $B D$ 和 $C D$ 于点M和N．

(1)、若 $\frac{B C}{C P} = \frac{3}{2}$ ，求 $\frac{C N}{D N}$ 的值；

(2)、求证： $A M^{2} = M N \cdot M P$ ．

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15、如图，点E为正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ， $B E$ ．过点E作 $E F ⊥ D E$ ，交边 $B C$ 于点F，以 $D E$ ， $E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ．

(1)、求证：矩形 $D E F G$ 是正方形；

(2)、连接 $C G$ ，若正方形 $A B C D$ 的边长为9， $C G = 3 \sqrt{2}$ ，求正方形 $D E F G$ 的边长．

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16、如图，在平面直角坐标系内， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 3, 1)$ ， $B (- 1, 1)$ ， $C (0, 3)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在第四象限画出 $△ A B C$ 以点O为位似中心的位似图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ， $△ A B C$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的位似比为 $1 : 2$ ；

(3)、求以 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 四个点为顶点构成的四边形的面积．

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17、如图，是由7个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为2厘米．

(1)、请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图；

(2)、直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：__________．

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18、用适当方法解下列方程：

(1)、 $2 {(x - 2)}^{2} = 98$

(2)、 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$

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19、若 $m, n$ 是方程 $x^{2} + x - 4 = 0$ 的根，则 $2 m^{2} + n^{2} + m + 2025$ 的值为．

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20、已知 $\frac{x}{5} = \frac{y}{2}$ ，则 $\frac{x}{y + x}$ 的值为．

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