相关试卷

1、阅读与思考

下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务．

利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况

对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如， $\frac{2 x + 1}{x - 1} = \frac{2 x - 2 + 3}{x - 1} = \frac{2 (x - 1) + 3}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}$ ，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况．

我们已知学习过反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ ，当 $x > 0$ 时， $y$ 随着 $x$ 的增大而减小，且随着 $x$ 的无限增大， $y$ 的值无限接近0．对于部分分式 $b + \frac{k}{x - a} (k > 0, a > 0, b > 0)$ 我们可以令 $y = b + \frac{k}{x - a}$ ，则函数 $y = b + \frac{k}{x - a}$ ，可以看作是由函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 先向右平移 $a$ 个单位长度，再向上平移 $b$ 个单位长度得到的新函数．那么当 $x > a$ 时， $y$ 随着 $x$ 的增大而减小，且随着 $x$ 的无限增大， $\frac{k}{x - a}$ 的值无限接近0，此时 $b + \frac{k}{x - a}$ 的值无限接近 $b$ ．例如，已知部分分式 $2 + \frac{3}{x - 1}$ ，我们令 $y = 2 + \frac{3}{x - 1}$ ，当 $x > 1$ 时， $y$ 随着 $x$ 的增大而减小，且随着 $x$ 的无限增大， $\frac{3}{x - 1}$ 的值无限接近0，所以 $2 + \frac{3}{x - 1}$ 的值无限接近2．

……

任务：

(1)、将分式

\frac{4 x + 3}{2 x + 1}

化为部分分式．

(2)、函数

y = \frac{2}{x + 1} - 1

可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到？

(3)、拓展：当

x > m

时，分式

\frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1}

的值随着

x

的增大而减小，且随着

x

的无限增大，

\frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1}

的值无限接近

n

，请你直接写出

m

的最小值以及

n

的值．

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2、直线 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = - \frac{8}{x}$ 的图象相交于点 $A (- 2, m), B (n, - 1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求直线 $y_{1}$ 的表达式；

(2)、过点C作 $x$ 轴的平行线交反比例函数的图象于点 $D$ ，求 $△ A C D$ 的面积．

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3、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为点 $A (- 2, 3)$ ， $B (- 4, - 2), C (1, - 1)$ ．

(1)、在图中画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $C_{1}$ 的坐标；

(2)、在图中，若点 $A_{2} (- 2, - 3)$ 与点 $A$ 关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是___________，此时点 $C$ 关于这条直线的对称点 $C_{2}$ 的坐标为___________；

(3)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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4、线段 $M N$ 平行于 $x$ 轴，且长度为 $5$ ，若 $M (2, - 2)$ ，则 $N$ 点的坐标为．

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5、已知 $\frac{3 x + 2}{x^{2}}$ 的值为正数，则 $x$ 的取值范围为．

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6、如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ (k≠0)在第一象限的图象经过顶点A(m，2)和CD边上的点E(n， $\frac{2}{3}$ )，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G(0，－2)，则点F的坐标是(　　)

A、( $\frac{5}{4}$ ， 0) B、( $\frac{7}{4}$ ， 0) C、( $\frac{9}{4}$ ， 0) D、( $\frac{11}{4}$ ， 0)

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7、在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（）
小刚： $\frac{900}{x - 3} = 2 \times \frac{900}{△}$
小强： $* + 3 = \frac{900}{y} - 1$

A、x表示规定时间 B、y表示慢马的速度 C、*表示 $\frac{900}{2 y}$ D、△表示 $x - 1$

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8、一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{a b}{x}$ （ $a ， b$ 为常数且均不等于 $0$ ）．在同一坐标系内的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9、已知点 $A (m - 1, 3)$ 与点 $B (2, n - 1)$ 关于 $y$ 轴对称，则 $(m + n)$ 的值为（）

A、0 B、3 C、 $- 1$ D、1

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10、若分式 $\frac{x^{2} - 9}{2 x + 6}$ 的值为0，则 $x$ 的值为（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\pm 3$ D、9

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11、在代数式 $\frac{2}{3} x, \frac{1}{x}, \frac{2}{3} x y^{2}, \frac{3}{x + 4}, \frac{2 x^{2} + 5}{2 x}, x^{2} - \frac{x}{π}$ 中，分式共有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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12、已知 $A B ∥ C D$ ，点C在点D的右侧， $∠ A B C$ ， $∠ A D C$ 的平分线交于点E， $∠ A D C = 70 °$ ．

(1)、如图1，当点B在点A的左侧时，
①求 $∠ E D C$ 的度数；
②若 $∠ A B C = 50 °$ ，求 $∠ B E D$ 的度数；

(2)、如图2，将线段 $B C$ 沿 $D C$ 方向平移，使得点B在点A的右侧，其它条件不变，若 $∠ A B C = n °$ ，求 $∠ B E D$ 的度数（用含n的式子表示）．

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13、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点 $A (0, 3)$ ， $B (2, 2)$ ， $C (6, 4)$ ．

(1)、把三角形 $A B C$ 向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ；画出平移后的三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，写出 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ 三点的坐标；

(2)、求出三角形 $A B C$ 的面积；

(3)、在x轴上是否存在点Q，使三角形 $C O Q$ 的面积是三角形 $A B C$ 的面积的 $\sqrt{3}$ 倍？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

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14、已知点 $A (2 a, 3 a + 1)$ 是平面直角坐标系中的点．

(1)、若点A在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等，求a的值；

(2)、若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标．

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15、如图， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $∠ 1 = ∠ 3$ ， $∠ B = 40 °$ ，求 $∠ A D E$ 的度数．

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16、计算： $|\sqrt{2} - 2| - \sqrt{{(- 4)}^{2}} + \sqrt[3]{8}$ ．

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17、计算： $8 \times \frac{3}{4} + 4 \div (- \frac{2}{3}) + {(- 2)}^{2}$ ．

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18、如图，已知 $A B ∥ D E$ ， $∠ B A C = m °$ ， $∠ A C D = n °$ ，则 $∠ E D C =$ ．

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19、如图，将周长为20的 $△ A B C$ 沿 $B C$ 方向平移2个单位长度得 $△ D E F$ ，连接 $A D$ ，则四边形 $A B F D$ 的周长为．

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20、在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(a, b)$ ，且a，b满足 ${(a + b)}^{2} + |b + 3| = 0$ ，则点A在第象限．

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