相关试卷

1、平面直角坐标系中若点 $P$ 的坐标为 $(5, - 2)$ ，则点 $P$ 到 $y$ 轴距离为（）

A、 $- 2$ B、2 C、5 D、 $- 5$

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2、如图所示， $F E ⊥ C D$ ， $∠ 1 = 65 ° 2 2^{'}$ ，当 $∠ 2 =$ （）时， $A B ∥ C D$ ．

A、 $24 ° 6 8^{'}$ B、 $24 ° 3 8^{'}$ C、 $25 ° 6 8^{'}$ D、 $25 ° 3 8^{'}$

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3、下列语句是真命题的是（）

A、同位角相等 B、两点之间，线段最短 C、过点 $P$ 作线段 $A B$ 的垂线 D、两个锐角互余

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4、如图，下列说法一定正确的是（）

A、 $∠ 1$ 和 $∠ 6$ 是邻补角 B、 $∠ 3$ 和 $∠ 4$ 是同旁内角 C、 $∠ 2$ 和 $∠ 8$ 是同位角 D、 $∠ 2$ 和 $∠ 5$ 是内错角

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5、下列各数中是无理数的是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\sqrt{6}$ C、1.2 D、17

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6、下列的四个图形，能由如图平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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7、如图，五边形 $A B C D E$ 中， $∠ B = 120 °$ ， $∠ C = 110 °$ ， $∠ D = 105 °$ ，则 $∠ A + ∠ E =$ °．

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8、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $E F$ 过点O，交 $A D$ 于点F，交 $B C$ 于点E．若 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A D = 5$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、4 B、6 C、3 D、1.5

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9、如图1，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的顶点A、B的坐标分别为 $(a, 0)$ 、 $(0, b)$ ，顶点C在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 的图象上，顶点D在反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x > 0)$ 的图象上．

(1)、当点C的坐标为 $(2, 8)$ 时，求a、b的值；

(2)、当 $k_{2} > k_{1}$ 时，求a、b应满足什么关系，请说明理由；

(3)、如图2，当 $k_{1} = k_{2}$ 时，在BC的延长线上取一点E，过点E作 $E F ⊥ E B$ 交y轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为 $E F$ 的三等分点时，求点E的坐标（请用含a的代数式表示）．

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10、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, ∠ A C B = 30 °$ ，点P在 $A C$ 边上由点A向点C运动（不与点A、C重合），过点P作 $P Q ⊥ B P$ ，交射线 $B C$ 于点Q．

(1)、如图，若点Q在线段 $B C$ 的延长线上， $P C = C Q$ ，探索 $B Q$ 与 $C Q$ 之间的数量关系，并说明理由；

(2)、如图，若点Q在线段 $B C$ 上， $B C = 10$ ， $\frac{P Q}{B P} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $B Q$ 的长．

(3)、如图，若 $A B = 3 \sqrt{3}$ ，求在运动过程中线段 $B Q$ 长度的最小值．

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11、
综合与实践
【问题背景】
某班同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将一张菱形纸片 $A B C D (∠ A D C > 90 °)$ 沿对角线 $B D$ 剪开，得到 $△ D A B$ 与 $△ D B C$ ．
【操作研究】
（1）数韵小组的同学们将图1中的 $△ D B C$ 以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转角 $α$ ，得到如图2所示的 $△ D B^{'} C$ ，连接 $A C$ 、 $B B^{'}$ ，得到四边形 $A B B^{'} C$ ，且发现它是矩形，请你探索 $α$ 与 $∠ A D B$ 之间的数量关系，并证明这个结论．
【深入求索】
（2）理趣小组的同学们在数韵小组发现四边形 $A B B^{'} C$ 是矩形的基础上，量得 $A B = 20 cm$ ， $B D = 24 cm$ ，现将 $△ D B^{'} C$ 沿射线 $C A$ 方向平移 $x cm$ ，得到 $△ D^{'} B^{″} C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ 、 $B B^{″}$ ，使四边形 $A B B^{″} C^{'}$ 恰好为正方形，求x的值．

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12、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 交 $x$ 轴于点 $A (1, 0)$ 和点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，抛物线的对称轴为直线 $x = - 1$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的表达式及顶点 $D$ 的坐标；

(2)、若点 $P$ 是抛物线上一动点，且在对称轴的右侧，过点 $P$ 作对称轴的垂线，垂足为 $Q$ ．求 $P Q - D Q$ 的最大值，并求此时点 $P$ 的坐标．

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13、如图1，独轮车俗称“手推车”又名辇，鹿车等，在西汉时已在一些田间隘道上出现，在北宋时正式出现独轮车名称，图2是从独轮车中抽象出来的几何模型．在 $△ A B C$ 中， $∠ A = ∠ C$ ，以 $△ A B C$ 的边 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $A C$ 于点D，且 $D E ⊥ B C$ ，垂足为E， $B E < C E$ ．

(1)、求证： $E D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $E D = 4$ ，求 $B E$ 的长．

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14、注重人工智能教育应用伦理，引导中小学生科学合理使用各类人工智能工具．某校开展了解八年级学生对 $AI$ 工具（豆包、通义千问、 $DeepSeek$ 、可灵）的掌握情况，随机抽取若干名八年级学生，统计每人掌握的 $AI$ 工具数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
抽取的八年级学生掌握 $AI$ 工具数量的人数统计表
掌握AI数量/个
1
2
3
4
人数/人
6
12
$m$
$n$
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、直接写出表格中 $m$ 、 $n$ 的值： $m =$ ________， $n =$ ________．

(2)、被抽取的八年级学生掌握 $AI$ 工具数量的中位数为________个．

(3)、本次调查中，掌握 $AI$ 工具数量不小于 $3$ 个的学生被评为“ $AI$ 应用小达人”，若该校八年级有 $500$ 名学生，请估计八年级学生中被评为“ $AI$ 应用小达人”的人数．

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15、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图法作 $A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，并连接 $B D$ ；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、应用与解决：在（1）的条件下，若 $B D = 3 C D$ ，求 $\tan ∠ A B C$ 的值．

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16、解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 (x - 3) \geq x - 9 \\ \frac{2 x + 5}{3} < 5 - x \end{matrix}$ ，并求出它的正整数解．

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17、如图，矩形 $A B C D$ 是由三个全等矩形拼成的， $A C$ 与 $E B 、 E F 、 H F 、 H G 、 D G$ 分别相交于点 $I 、 J 、 K 、 L 、 M$ ．设 $△ L G M 、 △ J K F 、 △ A B I$ 的面积依次为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，若 $S_{3}$ 的面积为 $27$ ，则 $S_{2} - S_{1}$ 的值为．

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18、如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积 $V$ （单位： $m^{3}$ ）变化时，气体的密度 $ρ$ （单位： ${kg/m}^{3}$ ）随之变化．已知密度 $ρ$ 与体积 $V$ 是反比例函数关系．当 $V = 9 m^{3}$ 时，则二氧化碳的密度 $ρ$ 为 ${kg/m}^{3}$ ．

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19、若 $\frac{a}{b} = 2$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值为．

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20、计算： $2026^{0} + \sqrt{2} \cos 45 ° =$ ．

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掌握AI数量/个	1	2	3	4
人数/人	6	12	$m$	$n$