相关试卷

1、解方程：

(1)、 $x - 2 = x (x - 2)$

(2)、 $x^{2} - 5 x - 6 = 0$

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2、计算

(1)、 ${(- \frac{1}{3})}^{- 2} + 4 \times {(- 1)}^{2025} - {|- 2|}^{3} + {(π - 3.14)}^{0}$

(2)、 $3 \sqrt{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{24}$

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3、已知关于x的分式方程 $\frac{2 x + a}{x - 3} + \frac{3 a}{3 - x} = 1$ 的解是正数，则a的取值范围为．

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4、如图是同一平面直角坐标系中函数 $y_{1} = 2 x$ 和 $y_{2} = \frac{2}{x}$ 的图象．观察图象不等式 $2 x < \frac{2}{x}$ 的解集为．

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5、最简二次根式 $\sqrt{2 + x}$ 与 $\sqrt{5 - 3 y}$ 是同类二次根式，则 $x + 3 y =$ ．

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6、如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ D O C = 120 °$ ， $B D = 4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $4 \sqrt{3}$

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7、下列各式从左到右的变形中，正确的是（）

A、 $\frac{2 a + 1}{2 b + 1} = \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a}{b} = \frac{2 a}{2 b}$ C、 $\frac{1}{a} + a = 1 + a^{2}$ D、 $\frac{2 a + b}{3 a + b} = \frac{2}{3}$

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8、将一次函数 $y = k x + b$ 向下平移5个单位长度后得到 $y = 2 x - 4$ ，则 $y = k x + b$ 的表达式是（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = 2 x - 9$ C、 $y = - 2 x + 1$ D、 $y = 2 x + 5$

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9、华为Mate40系列智能机搭载着麒麟9000， $5 nm$ 制程芯片，集成了153亿个集成电路． $1 nm = 0.0000001 cm$ ，那么 $5 nm$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.5 \times 10^{- 7} cm$ B、 $0.5 \times 10^{- 8} cm$ C、 $5 \times 10^{- 7} cm$ D、 $5 \times 10^{- 6} cm$

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10、综合与实践

活动主题	测量光线入射点的距离及水池的深度
测量工具	测角仪、皮尺等
测量	光从空气斜射入水中，入射光线 $A B$ 射到水池的水面B点后折射光线 $B D$ 射到池底点D处，入射角 $∠ A B M = 30 °$ ，折射角 $∠ D B N = 22 °$ ；入射光线 $A C$ 射到水池的水面C点后折射光线 $C E$ 射到池底点E处，入射角 $∠ A C M^{'} = 60 °$ ，折射角 $∠ E C N^{'} = 40.5 °$ ． $D E ∥ B C$ ， $M N$ ， $M^{'} N^{'}$ 为法线．入射光线 $A B, A C$ 和折射光线 $B D, C E$ 及法线 $M N$ ， $M^{'} N^{'}$ 都在同一平面内，点A到直线 $B C$ 的距离为3米．
参考数据	$\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.4$ ， $\sin 40.5 ° \approx 0.65$ ， $\cos 40.5 ° \approx 0.76$ ， $\tan 40.5 ° \approx 0.85$

请根据表格中提供的信息，解决下列问题：

(1)、求

B C

的长；（结果保留根号）

(2)、若

D E = 4.46

米，求水池的深（精确到0.01米）．

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11、如图1，已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B (8, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 4)$ ，连接 $C A$ 、 $C B$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图2，点 $D$ 在 $y$ 轴正半轴上， $O D = O B$ ， $B D$ 绕着点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，交抛物线于点 $Q$ ，连接 $D Q$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $△ B D Q$ 的边 $D Q$ ， $D B$ 上的动点，且 $Q E = D F$ ，求 $B E + Q F$ 的最小值．

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12、
【问题情境】
$△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得 $△ A D E$ ，连接 $C B$ 、 $B D$ ，恰好点 $D$ 落在线段 $C E$ 上．
【数学思考】
（1）如图1，求证： $B C ⊥ C E$ ；
【探究实践】
（2）如图1，已知 $B C = 1$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，求 $A F$ 的长；
【拓展提升】
（3）如图2，当 $A B = \sqrt{5}$ 时，过点 $F$ 作 $F G ∥ C E$ 交 $A E$ 于点 $G$ ，连接 $D G$ ，求 $△ D F G$ 的面积的最大值．

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13、综合与实践：测量黄旗山灯笼所在位置的高度
【实践背景】
黄旗山是东莞的标志性景观，山顶的灯笼是该景区的核心标识．某中学九年级学生开展数学综合实践活动，计划利用测角仪、卷尺等工具，结合解直角三角形的知识，测量灯笼所在位置的高度（即将灯笼视为一个点，求该点相对山脚地面的垂直高度），以提升实践操作与数学应用能力．
【实践器材】
测角仪、卷尺．（本次测量忽略测角仪高度，即测角仪视线与观测点地面齐平）
【实践过程】
如图，小明在山脚地面上的点A处，测得灯笼所在位置P的仰角为 $22 °$ ；然后他沿着坡度为 $17 °$ 的斜坡向后（远离灯笼方向）行走 $50 m$ ，到达观景台点B处，再次测得灯笼所在位置P的仰角为 $18 ． 6 °$ ．测量时，点A、B、C与灯笼底部的投影点Q在同一竖直平面内．
【实践探究】

(1)、求斜坡的垂直高度（即 $B C$ 长度）和水平宽度（即 $A C$ 长度）；

(2)、根据测量数据，求出灯笼所在位置的高度 $P Q$ （结果保留整数）．
（参考数据： $\sin 17 ° \approx 0.29, \cos 17 ° \approx 0.96, \tan 17 ° \approx 0.31; \sin 18.6 ° \approx 0.32, \cos 18.6 ° \approx 0.96, \tan 18.6 ° \approx 0.34$ ； $\sin 22 ° \approx 0.38, \cos 22 ° \approx 0.93, \tan 22 ° \approx 0.40$ ．）

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14、2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因机器人舞团在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少 $5$ 万元，花 $1200$ 万元购进甲种机器人的数量是花 $650$ 万元购进乙种机器人数量的 $2$ 倍．

(1)、求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？

(2)、某公司开展科技学习活动，打算从购进甲、乙两种机器人共 $30$ 个，且经费预算不超过 $1900$ 万元，则该公司最少可以购进甲种机器人多少个？

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15、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $B C$ 边上一点O为圆心， $O B$ 长为半径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 边交于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ， $A B = A D$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C E = 3$ ， $C D = 5$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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16、3月14日是国际数学日，学校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：数字猜谜、数独、魔方、24点游戏、数字华容道．学校对参与活动的学生进行了满意度评分调查（满分100分，每个学生只提交1次评分），将评分结果分为A、B、C、D、E五组，整理如表：
组别
A
B
C
D
E
成绩x/分
60分以下
$60 \leq x < 70$
$70 \leq x < 80$
$80 \leq x < 90$
$90 \leq x \leq 100$
人数
20
30
m
60
50
并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题，

(1)、此次共调查了________人， $m =$ ________；

(2)、补全条形统计图；

(3)、本次调查中，中位数落在________组，众数落__________组；（直接填写A、B、C、D、E）

(4)、结合本次调查数据，请评价本次数学日活动学生的满意度状况．

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17、先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x = 2$ ．

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18、计算： ${(- 1)}^{4} - 2 \sin 60 ° + | 1 - \sqrt{3} | + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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19、如图，点A是反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且 $A C = \frac{1}{2} B C$ ，连接OA、OB，则 $△ A O B$ 的面积是．

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20、小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为 $12 cm$ ，圆锥的高为 $8 cm$ ，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ${cm}^{2}$ ．（结果保留 $π$ ）

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组别	A	B	C	D	E
成绩x/分	60分以下	$60 \leq x < 70$	$70 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x \leq 100$
人数	20	30	m	60	50