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1、下列二次根式，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{0.5}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{8}}$

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2、解答下列各题：

(1)、【提出问题】如图1，已知 $A B ∥ C D$ ，线段 $E F ， E C ， D H$ 分别与 $A B$ 交于点A，G，B， $∠ F A G = ∠ D$ ，
求证： $E F ∥ D H$ ；

(2)、【深入探究】
如图2， $A B ∥ C D$ ，连接 $A C ， A D$ 并延长至点F，点E，延长 $B A$ 至点G，连接 $D B$ 并延长至点H，且 $A F ∥ D H$ ， $A F$ 平分 $∠ G A E$ ，若 $∠ A D C = 64 °$ ，求 $∠ A B H$ 的度数；

(3)、【拓展探究】
如图3，某厂区进行管道铺设施工，设计有三条主输送管道，分别为管道 $H B$ 、管道 $E N$ 、管道 $C D$ ，满足 $H B ∥ C D$ ， $E N ∥ H B$ ．支管道 $E C$ 与检修通道 $A B$ 交汇于接口A，支管道 $E B$ 向外延长形成接口F．在检修通道 $A B$ 上的接口G处，额外铺设一条连接到D接口的支管 $D G$ ，满足 $G D ∥ B F$ ．施工人员需要确定转角 $∠ A G D$ 、接口转角 $∠ C E F$ 以及管道转角 $∠ E C D$ 之间的数量关系，从而精准控制焊接角度，保证管道对接密封．请你帮该厂探索 $∠ A G D$ ， $∠ C E F$ ， $∠ E C D$ 之间的数量关系，并说明理由．

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3、对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $P (a, b)$ ，若点 $P^{'}$ 的坐标为 $(a + k b, b + \frac{a}{k})$ （其中 $k$ 为常数， $k \neq 0$ ），则称点 $P^{'}$ 为点 $P$ 的“ $k$ 系友好点”；例如： $P (3, 2)$ 的“3系友好点”为 $P^{'} (3 + 3 \times 2, 2 + \frac{3}{3})$ ，即 $P^{'} : (9, 3)$
请完成下列各题：

(1)、求点 $P (- 2, 1)$ 的“2系友好点” $P^{'}$ 的坐标为；

(2)、若点 $P (6, 3)$ 的“ $k$ 系友好点” $P^{'}$ 的坐标为 $(- 3, n)$ ，求 $k$ 和 $n$ 的值；

(3)、若点 $P$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $P$ 的“ $k$ 系友好点”为点 $P^{'}$ ，若在 $△ O P P^{'}$ 中， $P P^{'} = 2 O P$ ，求 $k$ 的值．

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4、如图所示，把三角形ABC放在直角坐标系中，现将三角形 $A B C$ 向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、在图中画出三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、写出 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标．

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5、已知 $2 a + 1$ 的算术平方根是 $3$ ， $3 a + 2 b - 1$ 的立方根是 $2$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $a + 2 b$ 的平方根．

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6、计算、求式中的x值：

(1)、计算： $\sqrt{2} (\sqrt{2} + 2) - 2 \sqrt{2}$ ；

(2)、求 $x$ 的值： ${(x + 1)}^{2} = 9$ ．

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7、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 $O$ 出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点 $A_{1} (0, 1)$ ， $A_{2} (1, 1)$ ， $A_{3} (1, 0)$ ， $A_{4} (2, 0)$ …，那么点 $A_{2026}$ 的坐标为．

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8、如图1为爆玉米花机器，图2为其模型， $A B ∥ C D$ ， $∠ A = 53 °$ ， $∠ A P C = 103 °$ ，则 $∠ C =$ ．

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9、如图， $A B ∥ C D$ ， $E G$ 、 $E M$ 、 $F M$ 分别平分 $∠ A E F$ 、 $∠ B E F$ 、 $∠ E F D$ ，下列结论正确的有（）
① $∠ D F E = ∠ A E F$ ；② $∠ E M F = 90 °$ ；③ $E G ∥ F M$ ；④ $∠ A E F = ∠ E G C$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10、如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ， $O E ⊥ A B$ ，若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $55 °$ D、 $65 °$

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11、宇树科技 $U n i t r e e B 2 - W$ 轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线 $A B$ 到达岸边，其中蕴含的数学原理是（）

A、两点之间线段最短 B、两点确定一条直线 C、线段有两个端点 D、垂线段最短

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12、在平面直角坐标系中，点 $P (2, - 3)$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、4的平方根是（）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm 4$ C、2 D、4

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14、下列实数中，是无理数的是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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15、在平面直角坐标系中，对于点 $P (m, n)$ 和点 $Q (x, y)$ 若满足 $\{\begin{matrix} x = 2 m + 1 \\ y = 2 n \end{matrix}$ ，则称点 $Q$ 为点 $P$ 的友谊点．例如点 $(2, 1)$ 的友谊点为 $(5, 2)$ ．

(1)、点 $P (- 2, 2)$ 的友谊点坐标是_____；若点 $P$ 的友谊点为 $(7, - 2)$ ，则点 $P$ 的坐标是_____．

(2)、若点 $P (a, 5)$ 的友谊点在直线 $y = 2 x - 3$ 上，则 $a$ 的值为_____．

(3)、点 $P$ 在直线 $y = 2 x - 1$ 上，其横坐标为 $x_{0}$ ，点 $Q$ 为点 $P$ 的友谊点．若点 $Q$ 到 $y$ 轴的距离等于它到 $x$ 轴的距离的2倍，求 $x_{0}$ 的值．

(4)、正方形 $A B C D$ 各顶点的坐标分别为 $A (0, 5)$ ， $B (3, 5), C (3, 2), D (0, 2)$ ．点 $P (m, n)$ 在直线 $y = x + 1$ 上，点 $Q$ 为点 $P$ 的友谊点，连接 $P Q$ ，当线段 $P Q$ 与正方形 $A B C D$ 的边有且只有一个公共点时，直接写出 $m$ 的取值范围．

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16、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 16$ ， $A D = 8$ ， $A E = 6$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A D - D C$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $C$ 运动，当点 $P$ 不与点 $A$ 重合时，连接 $P E$ ，以 $P E 、 E B$ 为边构造平行四边形 $P E B F$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t (t > 0)$ 秒．

(1)、当 $0 < t < 4$ 时， $D P =$ _____， $4 \leq t \leq 12$ 时， $D P =$ _____．（用含 $t$ 的代数式表示）

(2)、当点 $P$ 不与点 $D$ 重合， $t =$ _____，四边形 $P E B F$ 是菱形： $t =$ _____，四边形 $P E B F$ 是矩形．

(3)、当点 $P$ 在线段 $D C$ 上运动时，设 $▱ P E B F$ 与矩形 $A B C D$ 重叠部分的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并写出 $t$ 的取值范围．

(4)、作点 $A$ 关于直线 $P E$ 的对称点 $A^{'}$ ，连结 $A^{'} E$ ，当 $A^{'} E ⊥ A B$ 时，直接写出 $t$ 的值．

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17、感知：如图①， $▱ A B C D$ ．的对角线相交于点 $O$ ， $D E ∥ A C$ ， $C E ∥ B D$ ．证明：四边形 $O C E D$ 是平行四边形：
拓展：如图②，矩形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ， $D E ∥ A C$ ， $C E ∥ B D$ ，判断四边形 $O C E D$ 的形状，并说明理由：
应用：如图③，菱形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O, ∠ D B C = 30 °, B C = 5$ ， $D E ∥ A C$ 交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ， $C E ∥ B D$ ．求四边形 $A C F D$ 的周长是_____．

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18、已知 $A, B$ 两地之间距离600千米．甲车从 $A$ 地出发匀速开往 $B$ 地，甲车出发半小时后，乙车从 $A$ 地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回 $A$ 地．两车之间的距离 $y$ （千米）与甲车行驶时间 $x$ （小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：

(1)、甲车的速度是_____千米/时，乙车的速度是_____千米/时， $m =$ _____；

(2)、求乙车返回过程中， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(3)、当甲、乙两车相距240千米时，直接写出甲车的行驶时间．

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19、在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了 $A, B, C$ 三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中， $A, B, C$ 三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（满分为10分）．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优．
【数据收集与整理】
$A, B, C$ 三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人
测试员打分的中位数
测试员打分的众数
运动能力测试成绩
方差
$A$
$m$
9和10
85
1.85
$B$
8.5
8
87
$s^{2}$
$C$
8
$n$
83
2.01

(1)、填空： $m =$ _____， $n =$ _____；

(2)、通过比较方差，判断测试员对_____（填“ $A$ ”“ $B$ ”或“ $C$ ”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高；

(3)、按图象识别能力测试成绩占 $40 %$ ，运动能力测试成绩占 $60 %$ 计算综合成绩，请你通过计算判断 $A, B, C$ 三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？

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20、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $O$ 为线段 $A B$ 的中点，连接 $D B$ 、 $D O$ ，延长 $D O$ 、 $C B$ 交于点 $E$ ，连接 $A E$ ，且满足 $∠ A E B = 90 °$

(1)、求证：四边形 $A E B D$ 是矩形；

(2)、若 $C D = 5, B E = 3$ ，则四边形 $A E C D$ 的面积是_____．

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机器人	测试员打分的中位数	测试员打分的众数	运动能力测试成绩	方差
$A$	$m$	9和10	85	1.85
$B$	8.5	8	87	$s^{2}$
$C$	8	$n$	83	2.01