相关试卷

1、综合实践题
小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：材料准备：准备三根长度均为 $L$ 的铁丝．
探究1：小明先将第一根铁丝截成两段（ $4 a$ 和 $4 b$ ），分别围成边长为 $a$ 和 $b$ 的正方形；再将第二根铁丝均分（每段 $2 a + 2 b$ ），围成两个长为 $b$ 、宽为 $a$ 的长方形（如图1：两个正方形和两个长方形示意图）．
探究2：小红用第三根铁丝直接围成边长为 $(a + b)$ 的大正方形（如图2：大正方形示意图），

(1)、用 $S_{1}$ 表示小明做的2个正方形和2个长方形的面积和，用 $S_{2}$ 表示小红做的正方形的面积则 $S_{1} =$ ___________； $S_{2} =$ ___________．

(2)、通过图形拼合（如图3）猜想 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的关系，并用含 $a$ 、 $b$ 的式子写出数量关系；

(3)、应用：根据（2）中的等量关系，试解决如下问题：
①已知： $a + b = 7 ， a^{2} + b^{2} = 19$ ，求 $a b$ 的值；
②已知 ${(2024 - x)}^{2} + {(x - 2025)}^{2} = 7$ ，求 $(2024 - x) (x - 2025)$ 的值．

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2、若 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 可取下列中（）

A、 $- 1$ B、3 C、2 D、0

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3、如图，睢阳区某学校为保护自己的劳动实践基地在四周围上了竹篱笆，竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线 $a ∥ b$ 的是（）

A、 $∠ 4 = ∠ 2$ B、 $∠ 2 = ∠ 3$ C、 $∠ 3 = ∠ 4$ D、 $∠ 4 = ∠ 5$

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4、综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔 $A B$ 的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点E，C，D依次在一条水平线上， $E D = 182 m$ ， $E D ⊥ A B$ ，垂足为点C．在D处测得信号塔顶端A的仰角（ $∠ A D C$ ）为 $66 °$ ，在E处测得信号塔顶端A的仰角（ $∠ A E C$ ）为 $45 °$ ，测得信号塔底端B的仰角（ $∠ B E C$ ）为 $31 °$ ．参考数据： $\tan 66 °$ 取 $2.25$ ， $\tan 31 °$ 取0.60．

(1)、求线段 $A C$ 的长；

(2)、求信号塔 $A B$ 的高度（结果取整数）．

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5、小强在学习了直角三角形后，利用社团活动时间开展实践活动．
如图，小强去测量一无名山 $A F$ 的高度，他在山脚 $B$ 处测得山顶 $A$ 的仰角 $∠ A B F$ 为 $45 °$ ，然后从山脚沿一段倾角 $∠ C B E$ 为 $30 °$ 的斜坡走了200m到达山腰 $C$ ，此时测得山顶 $A$ 的仰角 $∠ A C D$ 为 $60 °$ ， $C D ⊥ A F$ 、 $C E ⊥ B F$ 、 $A F ⊥ B F$ ，垂足分别为 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ．（图中所有的点在同一平面内， $B$ 、 $E$ 、 $F$ 在同一水平线上）

(1)、求 $C E$ 的长；

(2)、请你根据他们的数据算出此无名山 $A F$ 的高度．

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6、综合与实践：

【主题】如何制作教室墙饰？
素材1	学校将进行最美教室评比，九（1）班为了装饰教室，同学们打算制作一个创意墙饰．因地制宜，墙饰框架如图1所示，以两条线段 $A C$ ， $B D$ 作为骨架， $A C$ 垂直平分 $B D$ 且 $A C > B D$ ，并按 $A O : O C = 3 : 5$ 的比例固定骨架，制作骨架 $A C$ 与 $B D$ 一共用了彩色硬纸条 $60 cm$ ，四边形 $A B C D$ （这部分是用来张贴学生照片的区域）的面积为 $400 {cm}^{2}$ ．
素材2	为了让墙饰更美观， $B D$ 以上部分打算用彩纸剪出抛物线形状来装饰．如图2，经过距离A，B，D三点分别为 $5 cm$ ， $2 cm$ ， $2 cm$ 的E，F，G三点绘制抛物线（建立如图的直角坐标系）． $B D$ 以下部分设计成 $△ F G H$ ，点H在OC延长线上且 $F H ∥ B C$ ．
素材3	现在要从一张长方形彩纸中裁剪无拼接的部分来制作墙饰（包括 $B D$ 以上抛物线部分及 $B D$ 以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）．
问题解决
任务1	确定骨架长度	求骨架 $A C$ 和 $B D$ 的长度．
任务2	确定BD以上部分形状	求抛物线的函数表达式．
任务3	选择纸张大小	至少选择面积为多少的长方形彩纸？

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7、如图，点 $E$ 、 $F$ 在 $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 上．若_________，则四边形 $B E D F$ 是平行四边形．请从① $B E = D F$ ；② $A E = C F$ ；③ $B E ∥ D F$ 这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．

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8、如图，一次函数 $y = k x + b (k < 0)$ 的图象经过点 $P$ ，则关于 $x$ 的不等式 $k x + b \leq 3$ 的解集为．

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9、已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B = 2$ ，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上．连接 $O C, B C$ ，过点 $O$ 作 $O D ∥ B C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ． $D E ⊥ O B$ ，垂足为 $E$ ．

(1)、如图1，连接 $B D$ ，当 $D E$ 的延长线恰好交 $⊙ O$ 于点 $C$ 时，求证：四边形 $O C B D$ 是菱形；

(2)、如图2，连接 $A C$ ， $D C$ ， $D C$ 交半径 $O B$ 于点 $F$ ，当 $∠ O C D = \frac{1}{2} ∠ C A B$ 时，求线段 $E F$ 的长；

(3)、如图3，连接 $A C$ ， $A D$ ， $D B$ ，设 $△ O D E$ 面积为 $S_{1}$ ，四边形 $A C B D$ 的面积为 $S_{2}$ ， $\frac{A C^{2}}{O E^{2}} = y$ ，如果 $S_{2} = x \cdot S_{1} (x > 6)$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．

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10、我们约定：如果抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点坐标满足条件 $(t, a t^{2})$ ，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线 $y = 3 x^{2} - 6 x + 6$ 的顶点坐标为 $(1, 3)$ ，此时 $t = 1$ ， $a = 3$ ，满足条件 $(t, a t^{2})$ ，所以它是“同频”拋物线．

(1)、抛物线 $y = a x^{2} - 4 x + c (a \neq 0)$ 是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
$①$ 当 $a = 1$ 时， $c = 8$ ；（     ）
$②$ 当 $a < 0$ 时， $c < 0$ ；（     ）
$③$ 抛物线与 $x$ 轴可能只有一个交点；（     ）

(2)、是否存在点 $P (m, n)$ ， $Q (n, m)$ 是“同频”拋物线 $y = a x^{2} - 4 x + c (a \neq 0)$ 上的点，其中 $m \neq n$ ，且 $m + n = 6$ ，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由；

(3)、“同频”抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0 且 b \neq 0)$ 的顶点为 $M$ ，它与直线 $y = c$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ A B M$ 是等腰直角三角形，求代数式 $\frac{1}{a + 1} + b + \frac{2}{c + 2}$ 的值．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中，D是边 $A B$ 上一点，M是边 $A C$ 的中点，连接 $D M$ 并延长至点N，使得 $M N = D M$ ，连接 $A N$ ， $C N$ ， $C D$ ，且 $∠ A D C = ∠ D C N$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C N$ 是矩形；

(2)、若 $∠ B A C = 60 °$ ， $B D = 2 A D = 8$ ，求点A到边 $B C$ 的距离．

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12、为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表．
采购批次
运动毛巾/条
瑜伽垫/个
总费用/元
第一次购物
5
6
400
第二次购物
7
6
396
第三次购物
4
3
230

(1)、分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价；

(2)、求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？

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13、如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为E，F，且 $D E = D F$ ．

(1)、求证： $∠ B = ∠ C$ ；

(2)、若 $A B = B C = 8$ ，求 $B E$ 的长．

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14、4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：

(1)、本次抽样共调查了________名学生，m的值为________；

(2)、补全条形统计图；

(3)、估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，以点 $A$ 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ 和点 $N$ ，再分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $P$ ．连接 $A P$ 并延长交 $B C$ 于点 $D$ ．

(1)、求 $∠ A D C$ 的度数；

(2)、若 $C D = 2$ ，求 $△ A B D$ 的面积．

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16、先化简，再求值： ${(x + 2 y)}^{2} - (x + y) (x - y) - 5 y^{2}$ ，其中， $x = - 2$ ， $y = 3$ ．

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17、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 3} - {(3 \sqrt{2})}^{0} - 4 \cos 30 ° + \sqrt{12}$ ．

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18、高速公路某收费站出城方向有编号分别为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口20分钟通过小客车的数量都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量如下表所示：
收费出口编号
A，B
B，C
C，D
D，E
E，A
通过小客车数/辆
125
150
140
170
115
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是．

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19、甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击 $12$ 次，成绩的平均数 $\bar{x}$ （单位：环）和方差 $s^{2}$ 如下表：

甲
乙
丙
丁
$\bar{x}$ /环
$9.4$
$9.4$
$8.2$
$8.5$
$s^{2}$
$0.17$
$0.46$
$0.16$
$2.85$
根据表中数据，你认为应该推荐运动员去参赛，更有把握赢得比赛．

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20、如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 与 $△ O C D$ 位似，位似中心是点O．若 $A (4, 0)$ ， $C (2, 0)$ ，则 $△ O A B$ 与 $△ O C D$ 面积的比值是．

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采购批次	运动毛巾/条	瑜伽垫/个	总费用/元
第一次购物	5	6	400
第二次购物	7	6	396
第三次购物	4	3	230

收费出口编号	A，B	B，C	C，D	D，E	E，A
通过小客车数/辆	125	150	140	170	115

	甲	乙	丙	丁
$\bar{x}$ /环	$9.4$	$9.4$	$8.2$	$8.5$
$s^{2}$	$0.17$	$0.46$	$0.16$	$2.85$