相关试卷

1、如图，在梯形 $A B C D$ 中，已知 $A D ∥ B C$ ， $A B = C D = 26$ ， $A D = 10$ ， $B C = 30$ ，梯形内有一点 $P$ ，使得 $△ A P B ≌ △ D P C$ ，且 $S_{△ A P D} = S_{△ B P C}$ ，则点 $A$ 到线段 $B P$ 的距离为．

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2、小张和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度 $h$ （米）与小张出发后的时间 $t$ （分钟）的函数关系如图所示，下列结论错误的是（）

A、山的高度是720米 B、小张爬山的速度是爷爷爬山的速度的2倍 C、在小张出发30分钟和50分钟时与爷爷相距60米 D、爷爷比小张先出发20分钟

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3、如图，字母A所代表的正方形的面积为（）

A、6 B、7 C、10 D、25

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4、如图，直线 $a ∥ b$ ，若 $∠ 1 = 38 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $52 °$ B、 $38 °$ C、 $58 °$ D、 $142 °$

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5、某数学兴趣小组进行如下探究：
如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $A M$ 是它的中线，则中线平分三角形的面积，即 $\frac{S_{△ A B M}}{S_{△ A M C}} = \frac{B M}{M C} = 1$ ．
继续探究，如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的面积比等于图中两组不同的线段比，即 $①$ $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A C D}} = \frac{B D}{C D}$ ， $②$ $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A C D}} =$ ________．

(1)、【猜想结论】 $②$ $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A C D}} =$ ___________；

(2)、【证明结论】请证明（ $1$ ）中你所猜想的结论；

(3)、【应用结论】如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是它的角平分线， $B D = 2 C D$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点，连接 $C E$ ．
$①$ 求证： $A D$ 垂直平分 $C E$ ；
$②$ 在图中画出 $△ A B D$ 边 $A D$ 上的高 $B F$ （只需体现 $B F$ 的位置），则 $\frac{S_{△ B D F}}{S_{△ A C D}}$ ___________．（无需证明）

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6、小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．
求作：线段 $C D$ ，使得线段 $C D$ 将 $△ A B C$ 分割成两个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边 $A C$ 的垂直平分线 $M N$ ，与斜边 $A B$ 相交于点 $D$ ；②连接 $C D$ ，则线段 $C D$ 为所求．

(1)、请你按照小明设计的作法，使用无刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明： $∵$ 直线 $M N$ 是线段 $A C$ 的垂直平分线．点 $D$ 在直线 $M N$ 上，
$∴ D C =$ ___________．（___________）（填推理的依据）
$∴ ∠ A = ∠$ ___________．
$∵ ∠ A C B = 90 °$ ，
$∴ ∠ B C D = 90 ° - ∠ A C D$ ．
$∠ B = 90 ° - ∠$ ___________．
$∴ ∠ B C D = ∠ B$ ．
$∴ D C = D B$ ．（___________）（填推理的依据）
$∴ △ D C B$ 和 $△ D C A$ 都是等腰三角形．

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7、如图，和谐广场有一块长为 $(4 a + 2 b)$ 米、宽 $(3 a + b)$ 米的长方形空地，角上有两块边长均为 $(a - b)$ 米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米）

(1)、用含有 $a ， b$ 的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；

(2)、若 $a = 30$ ， $b = 10$ ，求出绿化的总面积．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 边上，沿 $A D$ 将 $△ A B C$ 折叠，使点 $C$ 与 $B C$ 边上的点 $C^{'}$ 重合，展开后得到折痕a．

(1)、折痕a是 $△ A B C$ 的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”）

(2)、若 $∠ B A C^{'} = 10 °$ ， $∠ B = 40 °$ ，求 $∠ D A C$ 的度数．

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9、如图，在四边形 $A B C F$ 中，D，E分别是边 $A F$ ， $B C$ 上的动点，将四边形 $A B C F$ 沿 $D E$ 折叠，

(1)、如图1， $∠ A^{'}$ ， $∠ B^{'}$ 与 $∠ 1$ ， $∠ 2$ 的数量关系是，

(2)、如图2， $∠ A^{'}$ ， $∠ B^{'}$ 与 $∠ 1$ ， $∠ 2$ 的数量关系是．

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10、如图一，四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $A B ＝ C B$ ．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
小张同学想到了一种画出筝形的方法如下，请你和他一起完成作图和说理：

(1)、如图二，先任意画一个 $△ A B C$ ；

(2)、作 $∠ A B C$ 的角平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点 $D$ ；（请利用圆规和无刻度的直尺，尺规作图，保留作图痕迹）

(3)、过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ ；

(4)、根据角平分线的性质得　     　＝　     　；
进而可以证明△　     　≌△　     　，
根据全等三角形性质可以得到则　     　＝　     　；
四边形　     　为筝形．

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11、如图， $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $D$ 是 $B C$ 中点，若 $A D$ 的长是整数，则 $A D =$ ．

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12、如图， $P$ 是射线 $O N$ 上一动点， $∠ O = 30^{\circ}$ ，则当 $∠ A$ 的度数为时，△AOP为等腰三角形．

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13、下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知 $O$ 是直线 $A B$ 上的一点， $∠ C O D$ 是直角．

(1)、如图1，若 $O F$ 平分 $∠ B O D$ ，当 $∠ B O F = 25 °$ 时，求 $∠ A O C$ 的度数；

(2)、如图2， $O E$ 平分 $∠ B O C$ ， $O F$ 平分 $∠ B O D$ ，求 $∠ E O F$ 的度数；

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15、如图，表中给出的是某月的日历表，在该表中任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能是①70；②84；③105；④140，其中正确的可能有．（填写序号）

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16、如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在一条直线上，如果 $∠ 1 = 27 ° 2 4^{'}$ ，那么 $∠ 2 =$ ．

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17、有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．

(1)、填空： $|a| =$ ______； $|a - b| =$ ______；

(2)、化简： $|a + c| - 3 |c - b| + 2 |a + b|$ ．

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18、如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} \geq 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $a - b > 0$ D、 $| a | > | b |$

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19、如图， $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ．以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ ，且使 $C E = C D$ ，连接 $A E$ ．

(1)、求证： $A E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、已知 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $\sin ∠ D A C = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $A D$ 的长．

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20、已知：点 $P (1, m)$ 、 $Q (n, \frac{1}{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{3}{2 x}$ 的图象上，直线 $y = k x + b$ 经过点P、Q，且与x轴，y轴的交点分别为A、B两点．

(1)、求直线 $A B$ 的表达式；

(2)、O为坐标原点，C在直线 $P Q$ 上且满足 $A B = A C$ ，点D在坐标平面内，顺次连接点O、B、C、D的四边形满足： $B C ∥ O D ， B O = C D$ ，求D点坐标．

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