相关试卷

1、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $A D$ 上， $A C$ 与 $E F$ 相交于点 $O$ ， $B E = D F$ ， $∠ A O E = 90 °$ ，连接 $A E 、 F C$ ．求证：四边形 $A E C F$ 是菱形．

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2、计算： $\sqrt{2} \times \sqrt{6} + {(3.14 - π)}^{0} - 6 \times \sqrt{\frac{1}{3}} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

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3、如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 对折，使得点 $B$ 落在点 $E$ 处， $C E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，若 $C E$ 平分 $∠ A C D$ ， $A F = 2$ ，则 $C D$ 长是．

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4、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $P$ 是 $B C$ 边上一点， $A P$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $N$ ，连结 $P N$ 交 $C D$ 于点 $Q$ ，连接 $A Q$ ．给出下面四个结论：① $N A = N P$ ；② $P A$ 平分 $∠ B P N$ ；③ $B P + D Q = P Q$ ；④若 $P$ 是 $B C$ 中点，则 $Q$ 也是 $C D$ 中点．上述结论中，正确结论的序号有（）

A、①②③④ B、①② C、①②③ D、①②④

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5、我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索长是多少？”示意图如图所示，请求出绳索的长度为多少尺（结果保留1位小数）（）

A、 $9.1$ 尺 B、 $9.2$ 尺 C、 $12.1$ 尺 D、 $12.2$ 尺

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6、如图，数轴上与 $\sqrt{90} - \sqrt{10}$ 对应的点大致是（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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7、要使二次根式 $\sqrt{x - 2027}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2027$ B、 $x \geq 2027$ C、 $x \leq 2027$ D、 $x < 2027$

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8、如图①，在平面直角坐标系中，已知 $A (- 3, 1)$ ， $B (2, 1)$ ．将线段A $B$ 先向上平移 $2$ 个单位长度，再向右平移 $2$ 个单位长度得到线段 $C D$ ，使点 $A$ 的对应点为点 $C$ ，点 $B$ 的对应点为点 $D$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ，点 $P$ 是射线 $C D$ 上一动点．

(1)、填空：点 $C$ 的坐标是，点 $D$ 的坐标是______；

(2)、当点 $P$ 运动到如图①所示的位置时，连接 $B P$ ，此时 $B D$ 平分 $∠ P B E$ ，点 $E$ 是 $A B$ 延长线上一点，已知 $∠ B A C = 45 °$ ，猜想 $B P$ 和 $C D$ 的位置关系并写出证明过程；

(3)、当点 $P$ 在线段 $C D$ 上运动时，若 $S_{△ B P D} = \frac{1}{5} S_{△ A B D}$ ，求出点 $P$ 的坐标；

(4)、点 $P$ 是射线 $C D$ 上一动点（点 $P$ 不与点 $C$ 、 $D$ 重合），连接 $A P$ 、 $B P$ ，直接写出 $∠ A P B$ 、 $∠ P A C$ 与 $∠ P B D$ 的数量关系．

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9、定义：关于 $x, y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ （其中 $a \neq b \neq c$ ）中的常数项 $c$ 与未知数系数 $a, b$ 之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如： $a x + b y = c$ 的交换系数方程为 $c x + b y = a$ 或 $a x + c y = b$ ．

(1)、请写方程 $3 x + 2 y = 4$ 的“交换系数方程”；

(2)、请求方程 $3 x + 2 y = 4$ 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解；

(3)、已知关于 $x, y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ 的系数满足 $a + b + c = 0$ ，且方程 $a x + b y = c$ 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于 $x, y$ 的二元一次方程 $m x + n y = p$ 的一个解，请问 $m, n, p$ 的数量关系，并说明理由．

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10、请将下列证明过程补充完整：
如图， $E F ⊥ B C$ ， $∠ 1 = ∠ C$ ， $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ，试说明 $∠ A D C = 90 °$ ．
证明： $∵ ∠ 1 = ∠ C$ ，（已知）
$∴ G D$ $∥$ ________．（____________________）
$∴ ∠ 2 = ∠ D A C$ ．（_____________________）
$∵ ∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ，（已知）
$∴ ∠ D A C + ∠ 3 = 180 °$ ．（等式的基本事实）
$∴ A D ∥ E F$ （__________________________）
$∴ ∠ A D C = ∠ C F E .$ （_______________________）
$∵ E F ⊥ B C$ ，（已知）
$∴ ∠ E F C = 90 °$ ．（垂直的定义）
$∴ ∠ A D C = 90 °$ ．（等式的基本事实）

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11、如图，直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在网格点上，其中，点 $C$ 坐标为 $(1, 2)$ ．
（1）点 $A$ 的坐标是______，点 $B$ 的坐标是______；
（2）将 $△ A B C$ 先向上平移1个单位长度，再右平移2个单位长度，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．请写出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的三个顶点坐标；
（3）求 $△ A B C$ 面积．

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12、若 $x, y, z$ 为实数，且 $|x - 5| + \sqrt{y + 4} + {(z + 2)}^{2} = 0$ ，则 ${(x + y + z)}^{2025}$ 的值为（）

A、1 B、2025 C、 $- 1$ D、 $- 2025$

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中（如图），已知直线l： $y = x + 4$ 交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且 $O C = 2$ ．点D在线段 $A C$ 上，且 $∠ C D B = ∠ A B C$ ，过点C作 $B C$ 的垂线，交 $B D$ 的延长线于点E，连接 $A E$ ．

(1)、求点D的坐标；

(2)、求证： $A E ⊥ A B$ ；

(3)、如果点P是直线 $C E$ 上的动点，连接 $D P$ ，当 $△ D E P$ 与 $△ A B C$ 相似时，求点P坐标．

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14、有这样一个问题：已知 $m = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 m^{2} - 8 m + 1$ 的值．
小明是这样解答的：∵ $m = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $m - 2 = - \sqrt{3}$ ，
∴ ${(m - 2)}^{2} = 3$ ，即 $m^{2} - 4 m + 4 = 3$ ，
∴ $m^{2} - 4 m = - 1$ ，
∴ $2 m^{2} - 8 m + 1 = 2 (m^{2} - 4 m) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
根据小明的解答过程，解决以下问题：

(1)、填空： $\frac{1}{\sqrt{5} - 2} =$ ______； $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} =$ ______；

(2)、化简，已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ．
①求 $4 a^{2} - 8 a + 1$ 的值；
②求 $a^{3} - 3 a^{2} + a + 1$ 的值．

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15、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m - 1) x - 2 (m + 3) = 0$ .

(1)、试证：无论 $m$ 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；

(2)、设方程 $x^{2} - (m - 1) x - 2 (m + 3) = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 为菱形的两条对角线长，是否存在 $m$ 值，使得菱形的边长为 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ ？若存在，求出 $m$ 值；若不存在，说明理由．

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16、第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题：

(1)、降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示)

(2)、试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率．

(3)、当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？

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17、如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为等腰三角形，且 $∠ A B C = ∠ A D E$ ， $A B = B C$ ， $A D = D E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ A D E$ ；

(2)、连接BD、CE，若 $\frac{A B}{A C} = \frac{3}{2}$ ， $△ A B D$ 的面积为9，求 $△ A C E$ 的面积．

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18、用适当的方法解下列方程．

(1)、 $3 x^{2} + x - 5 = 0$ ；

(2)、 $(2 x + 1) (x - 3) - 4 = 0$ ．

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19、计算：

(1)、 $\sqrt{20} - {(π - 3)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + |2 - \sqrt{5}|$ ；

(2)、 $\sqrt{42} \div \sqrt{6} - \sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{15} - (\sqrt{7} - 3)$ ．

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20、我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形 $A B E D$ 和四边形 $C F G H$ 都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长 $a$ ， $b$ ， $c$ 之间的一个重要结论： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．
【探究发现】（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知： $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ．
求证： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．
证明：由图可知 $S_{正方形 A B E D} = 4 S_{△ A B C} + S_{正方形 C F G H}$ ，
∵ $S_{正方形} _{A B E D} = c^{2}$ ， $S_{△ A B C} =$ ________，正方形 $C F G H$ 边长为________，∴ $c^{2} = 4 \times \frac{1}{2} a b + {(a - b)}^{2} = 2 a b + a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ，
即 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．
【知识迁移】
（2）在 $△ A B C$ 中， $A B = \frac{25}{4} \sqrt{5}$ ， $A C = \frac{5}{2} \sqrt{29}$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $A D = \frac{25}{2}$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A B$ 翻折后得到 $△ A B D^{'}$ ，
①如图2，连接 $D D^{'}$ ，则线段 $D D^{'}$ 的长为________；
②如图3，连接 $C D^{'}$ ，请求出线段 $C D^{'}$ 的长．

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