相关试卷

1、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $P$ 是 $B C$ 边上一点， $A P$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $N$ ，连结 $P N$ 交 $C D$ 于点 $Q$ ，连接 $A Q$ ．给出下面四个结论：① $N A = N P$ ；② $P A$ 平分 $∠ B P N$ ；③ $B P + D Q = P Q$ ；④若 $P$ 是 $B C$ 中点，则 $Q$ 也是 $C D$ 中点．上述结论中，正确结论的序号有（）

A、①②③④ B、①② C、①②③ D、①②④

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2、我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索长是多少？”示意图如图所示，请求出绳索的长度为多少尺（结果保留1位小数）（）

A、 $9.1$ 尺 B、 $9.2$ 尺 C、 $12.1$ 尺 D、 $12.2$ 尺

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3、如图，数轴上与 $\sqrt{90} - \sqrt{10}$ 对应的点大致是（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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4、要使二次根式 $\sqrt{x - 2027}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2027$ B、 $x \geq 2027$ C、 $x \leq 2027$ D、 $x < 2027$

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5、如图①，在平面直角坐标系中，已知 $A (- 3, 1)$ ， $B (2, 1)$ ．将线段A $B$ 先向上平移 $2$ 个单位长度，再向右平移 $2$ 个单位长度得到线段 $C D$ ，使点 $A$ 的对应点为点 $C$ ，点 $B$ 的对应点为点 $D$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ，点 $P$ 是射线 $C D$ 上一动点．

(1)、填空：点 $C$ 的坐标是，点 $D$ 的坐标是______；

(2)、当点 $P$ 运动到如图①所示的位置时，连接 $B P$ ，此时 $B D$ 平分 $∠ P B E$ ，点 $E$ 是 $A B$ 延长线上一点，已知 $∠ B A C = 45 °$ ，猜想 $B P$ 和 $C D$ 的位置关系并写出证明过程；

(3)、当点 $P$ 在线段 $C D$ 上运动时，若 $S_{△ B P D} = \frac{1}{5} S_{△ A B D}$ ，求出点 $P$ 的坐标；

(4)、点 $P$ 是射线 $C D$ 上一动点（点 $P$ 不与点 $C$ 、 $D$ 重合），连接 $A P$ 、 $B P$ ，直接写出 $∠ A P B$ 、 $∠ P A C$ 与 $∠ P B D$ 的数量关系．

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6、定义：关于 $x, y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ （其中 $a \neq b \neq c$ ）中的常数项 $c$ 与未知数系数 $a, b$ 之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如： $a x + b y = c$ 的交换系数方程为 $c x + b y = a$ 或 $a x + c y = b$ ．

(1)、请写方程 $3 x + 2 y = 4$ 的“交换系数方程”；

(2)、请求方程 $3 x + 2 y = 4$ 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解；

(3)、已知关于 $x, y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ 的系数满足 $a + b + c = 0$ ，且方程 $a x + b y = c$ 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于 $x, y$ 的二元一次方程 $m x + n y = p$ 的一个解，请问 $m, n, p$ 的数量关系，并说明理由．

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7、请将下列证明过程补充完整：
如图， $E F ⊥ B C$ ， $∠ 1 = ∠ C$ ， $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ，试说明 $∠ A D C = 90 °$ ．
证明： $∵ ∠ 1 = ∠ C$ ，（已知）
$∴ G D$ $∥$ ________．（____________________）
$∴ ∠ 2 = ∠ D A C$ ．（_____________________）
$∵ ∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ，（已知）
$∴ ∠ D A C + ∠ 3 = 180 °$ ．（等式的基本事实）
$∴ A D ∥ E F$ （__________________________）
$∴ ∠ A D C = ∠ C F E .$ （_______________________）
$∵ E F ⊥ B C$ ，（已知）
$∴ ∠ E F C = 90 °$ ．（垂直的定义）
$∴ ∠ A D C = 90 °$ ．（等式的基本事实）

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8、如图，直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在网格点上，其中，点 $C$ 坐标为 $(1, 2)$ ．
（1）点 $A$ 的坐标是______，点 $B$ 的坐标是______；
（2）将 $△ A B C$ 先向上平移1个单位长度，再右平移2个单位长度，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．请写出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的三个顶点坐标；
（3）求 $△ A B C$ 面积．

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9、若 $x, y, z$ 为实数，且 $|x - 5| + \sqrt{y + 4} + {(z + 2)}^{2} = 0$ ，则 ${(x + y + z)}^{2025}$ 的值为（）

A、1 B、2025 C、 $- 1$ D、 $- 2025$

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10、我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形 $A B E D$ 和四边形 $C F G H$ 都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长 $a$ ， $b$ ， $c$ 之间的一个重要结论： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．
【探究发现】（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知： $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ．
求证： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．
证明：由图可知 $S_{正方形 A B E D} = 4 S_{△ A B C} + S_{正方形 C F G H}$ ，
∵ $S_{正方形} _{A B E D} = c^{2}$ ， $S_{△ A B C} =$ ________，正方形 $C F G H$ 边长为________，∴ $c^{2} = 4 \times \frac{1}{2} a b + {(a - b)}^{2} = 2 a b + a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ，
即 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．
【知识迁移】
（2）在 $△ A B C$ 中， $A B = \frac{25}{4} \sqrt{5}$ ， $A C = \frac{5}{2} \sqrt{29}$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $A D = \frac{25}{2}$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A B$ 翻折后得到 $△ A B D^{'}$ ，
①如图2，连接 $D D^{'}$ ，则线段 $D D^{'}$ 的长为________；
②如图3，连接 $C D^{'}$ ，请求出线段 $C D^{'}$ 的长．

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11、一次函数 $y_{1} = x$ 与 $y_{2} = - x + 6$ 的图象如图所示．

(1)、点 $C$ 的坐标为____________，点 $B$ 的坐标为____________；

(2)、当____________时， $y_{1} > y_{2} > 0$ ；

(3)、若点 $D$ 在直线 $O C$ 上，且满足 $S_{△ D O B} = \frac{1}{2} S_{△ C O B}$ ，求点 $D$ 的坐标．

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12、随着新能源汽车的普及，居民的充电需求持续增长．为了提升便民服务水平，各个社区纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置一批如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，为了精准预算，社区工作人员收集了两款充电桩的采购报价信息，如下表：
单枪充电桩数量（单位：个）
双枪充电桩数量（单位：个）
总报价（单位：元）
$1$
$1$
$2500$
$3$
$2$
$6000$

(1)、求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；

(2)、若该社区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩共 $30$ 个，购置总花费不超过 $40000$ 元，则至少购进单枪新能源充电桩多少个？

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13、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1, 3)$ ， $B (2, 5)$ ， $C (4, 2)$ （每个方格的边长均为1个单位长度）．

(1)、将 $△ A B C$ 平移，使点A移动到点 $A_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、作出 $△ A B C$ 关于O点成中心对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．

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14、因式分解：

(1)、 $3 m + 3$ ；

(2)、 $10 a b + 5 a c$ ．

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15、如图，将 $△ A B C$ 沿着射线 $B C$ 平移到 $△ D E F$ ．若 $B C = 6$ ， $E C = 4$ ，则平移的距离为．

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16、若 $x^{4 - m} + 3 > 7$ 是关于x的一元一次不等式，则 $m =$ ；

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17、矩形 $O A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为 $(6, 8)$ ， D是 $O A$ 的中点，点E在 $A B$ 上，当 $△ C D E$ 的周长最小时，点E的坐标为（）

A、 $(6, 2)$ B、 $(6, \frac{8}{3})$ C、 $(6, \frac{10}{3})$ D、 $(6, 4)$

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18、 $2025$ 年 $6$ 月 $21$ 日是我国二十四节气中的夏至，深圳当天最高气温是 $34 ℃$ ，最低气温 $28 ℃$ ，则这天气温 $t (℃)$ 的变化范围是（）

A、 $t \geq 28$ B、 $t \leq 34$ C、 $t = 31$ D、 $28 \leq t \leq 34$

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19、我们知道， $|a|$ 可以理解为 $| a - 0 |$ ，它表示：数轴上表示数 $a$ 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点 $A$ ， $B$ ，分别用数 $a$ ， $b$ 表示，那么 $A$ ， $B$ 两点之间的距离为 $|A B| = |a - b|$ ，反过来，式子 $|a - b|$ 的几何意义是：数轴上表示数 $a$ 的点和表示数 $b$ 的点之间的距离．

(1)、利用此结论，回答以下问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是         ，数轴上表示1和 $- 3$ 的两点之间的距离是         ．
②数轴上表示x和 $- 1$ 的两点A和B之间的距离是             ，如果 $|A B| = 2$ ，那么x为              ．

(2)、探索规律：
①当 $|x - 1| + |x - 2|$ 有最小值是             ．
②当 $|x - 1| + |x - 2| + |x - 3|$ 有最小值是             ．
③当 $|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4|$ 有最小值是             ．

(3)、规律应用
工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？

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20、阅读下列内容，并完成相关的问题．
小明说：“我定义了一种新的运算，叫 $*$ （加乘）”，然后他写出了一些按照 $*$ （加乘）
运算的运算法则进行了运算的算式： $(+ 4) * (+ 2) = + 6$ ； $(- 4) * (- 3) = + 7$ ；
$(+ 5) * (- 3) = - 8$ ； $(+ 6) * (- 4) = - 10$ ； $(+ 8) * 0 = 8$ ； $0 * (- 9) = 9$ ；
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的 $*$ （加乘）运算的运算法则了”．
聪明的你也明白了吗？

(1)、模仿计算： $(- 4) * (+ 3) =$ ______； $(- 5) * (- 7) =$ ______ ； $0 * (- π) =$ ______；

(2)、拓展计算： $[(- 2) * (+ 3)]*[(- 12) * 0]$ ；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致)

(3)、我们知道加法交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 *（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在 $*$ （加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证．

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单枪充电桩数量（单位：个）	双枪充电桩数量（单位：个）	总报价（单位：元）
$1$	$1$	$2500$
$3$	$2$	$6000$