相关试卷

1、一个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式可以是（）

A、 $x - 1 < 0$ B、 $x - 1 > 0$ C、 $x - 1 \leq 0$ D、 $x - 1 \geq 0$

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2、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 60 °$ ，点E为菱形 $A B C D$ 内部一点，将 $△ B C E$ 绕B点顺时针旋转 $60 °$ ，使边 $B C$ 与 $A B$ 重合，得到 $△ B A M$ ，且点M、A、E在同一直线上．延长 $B E$ 交射线 $A D$ 于G点，延长 $C E$ 交射线 $A D$ 于F点．

(1)、求 $∠ F E G$ 的度数．

(2)、若 $F E = 2$ ， $E C = 4$ ，求 $A F$ 的长．

(3)、当E在内部运动时，求 $\frac{F G + F D}{A F}$ 的最小值．

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3、某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长 $2.7 m$ ，球网位于球台正中间，球网高 $0.15 m$ ，球网与原点O的水平距离为 $1.35 m$ ．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当 $O A = 0.4 m$ 时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为 $0.5 m$ ，距离球台水平面的高度为 $0.45 m$ ．

(1)、求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；

(2)、请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网；

(3)、乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为 $0.2 m$ ．若最佳击球高度为 $0.15 m$ ，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点D为 $⊙ O$ 上一点，且 $D C = D B$ ， $D E$ 与 $⊙ O$ 相切于点D， $D E$ 交 $C A$ 的延长线于点E．

(1)、求证： $D E ⊥ C E$ ；

(2)、若 $∠ A C D = 30 °$ ， $C B = 4$ ，求四边形 $D E C B$ 的面积．

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5、一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，当 $p \leq x \leq q$ 时，记该函数在区间 $[p, q]$ 上的最小值与最大值的和为 $F (p, q)$ ．如一次函数 $y = x + 1$ ，当 $2 \leq x \leq 5$ 时， $F (2, 5) = (2 + 1) + (5 + 1) = 9$

(1)、若一次函数 $y = k x + b$ 满足 $F (1, 3) = 10$ ， $F (2, 4) = 14$ ，求k和b的值；

(2)、已知一次函数的图象经过点 $(2, 4)$ ，且 $F (m, m + 2) = 8$ ，证明： $m = 1$ ．

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6、2026年，杭州某中学开展“最美杭州”文明实践，调查初三年级学生参与“西湖先锋”社区公益、西湖景区文明引导等志愿服务的次数，随机抽取了该年级部分学生进行调查，得到如下不完整的频数分布表：
志愿服务次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次
频数（人数）
2
5
a
8
b
8
已知以下信息：
①参与志愿服务次数为2次的学生，占本次抽取总人数的 $10 %$ ；
②参与志愿服务次数为3次的学生，占本次抽取总人数的 $20 %$ ．
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、表格中的 $a =$ ___________， $b =$ ___________；

(2)、求本次调查中，学生参与志愿服务次数的众数和中位数；

(3)、若该校初三年级共有450名学生，据调查结果，估计该校初三年级本学期志愿服务次数不低于4次的学生总人数，为学校后续组织志愿者活动提供人数参考．

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7、如图，某手工兴趣小组在正方形纸板 $A B C D$ 上裁剪十字形装饰纸板，设计了正方形“十字架”结构：在 $B C$ 上取一点 $E$ ，连接 $A E$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ A E$ ，交 $A E$ 于点 $G$ ，交 $C D$ 于点 $F$ ．

(1)、请写出 $△ A B E ≌ △ B C F$ 的证明过程．

(2)、若正方形纸板的边长 $A B = 4$ ，且 $E$ 为 $B C$ 的中点，求线段 $G F$ 的长．

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8、以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程： $\frac{x + 1}{2} - \frac{2 x - 1}{3} = 1$ ．
小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得 $3 (x + 1) - 2 (2 x - 1) = 1$
步骤②：去括号，得 $3 x + 3 - 4 x - 2 = 1$
步骤③：移项，得 $3 x - 4 x = 1 - 3 + 2$
步骤④：合并同类项，得 $- x = 0$
步骤⑤：系数化为1，得 $x = 0$

(1)、小程的解题过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________；

(2)、请写出该一元一次方程正确的解答过程．

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9、化简求值： $(x + 2) (x - 2) - x (x - 1) + 2 x$ ，其中 $x = 2$ ．

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10、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $O$ 是对角线 $A C$ 上一点，连接 $O D$ ，将 $△ A O D$ 沿 $O D$ 翻折，得到 $△ E O D, O E$ 交 $B C$ 于 $F$ 点， $E D$ 交 $A C$ 于 $G$ 点，交 $B C$ 于 $H$ 点，且 $E D ⊥ A C$ ．
（1）若 $O G = O F = 1$ ，则 $D G =$ ．
（2）若 $\frac{O G}{O F} = k$ ，则四边形 $O F H G$ 与 $△ G H C$ 的面积比为（用含 $k$ 的代数式表示）．

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11、古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如 $x^{2} + p x = q (p > 0, q > 0)$ 的方程，采用如下构造步骤：如图，
①作线段 $A B = p$ ，取 $A B$ 的中点 $D$ ，则 $D B = \frac{p}{2}$ ；
②过 $B$ 点作 $B E ⊥ A B$ ，使得 $B E^{2} = q$ ；
③以 $D$ 为圆心、 $D E$ 的长为半径作圆，交直线 $A B$ 于 $C$ ， $F$ 两点．该方程的正根为图中线段．

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12、不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{x}{2} + 1 \geq 0 \\ 1 - x > 0 \end{array}$ 的解集是．

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13、 $- 5 - \sqrt[3]{8} =$

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14、如图（1），在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 45 °$ ，矩形 $D E F G$ 内嵌于 $△ A B C$ ．顶点F，G在 $B C$ 边上，点D在 $A B$ 边上，点E在 $A C$ 边上．当矩形 $D E F G$ 以每秒1个单位长度的速度沿射线 $G C$ 匀速运动（当G点与C点重合时停止运动）．设运动时间为x秒，矩形 $D E F G$ 与 $△ A B C$ 重叠部分的面积为S．如图（2）为S关于x的函数图象，且经过点 $P (10, 70)$ ， $Q (12, q)$ ．下列选项正确的是（）

A、 $F G = 10$ B、重叠部分面积的最大值为140 C、 $q = 50$ D、点 $(14, 58)$ 在函数图象上

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = 36 °$ ，按以下步骤作图：
①以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画 $⊙ B$ ，交 $A C$ 于 $D$ 点，连接 $B D$ ；
②以点 $D$ 为圆心， $B D$ 长为半径画弧，与 $⊙ B$ 交于点 $P 、 Q$ ，作直线 $P Q$ ，交 $A B$ 于 $E$ 点，交 $B D$ 于 $F$ 点．则下列说法正确的是（）

A、 $D E$ 平分 $∠ A D B$ B、 $A D = A E$ C、 $∠ B E D = 2 ∠ B A C$ D、 $S_{△ A E D} = 2 S_{△ B E D}$

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16、关于反比例函数 $y = \frac{2 m - 3}{x}$ ，下列说法错误的是（）

A、若函数图象分布在第二、四象限，则 $m < \frac{3}{2}$ B、若点 $(x_{1}, y_{1}) 、 (x_{2}, y_{2})$ 在函数图象上，且 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ C、若 $m > 2$ ，则当 $1 \leq x \leq 3$ 时， $y$ 的最大值为 $2 m - 3$ D、若函数图象上有两点 $A (a, b) 、 B (c, d)$ ，满足 $a < 0 < c$ 且 $b > d$ ，则 $m < \frac{3}{2}$

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17、杭州某中学为传承宋韵文化，开展（A．宋词诵读，B．书法篆刻，C．宋韵剪纸，D．陶艺制作）四个类型的文化体验活动，从全校学生中随机抽取部分学生进行“最喜爱的活动类型”抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．下列说法正确的是（）

A、本次抽样调查的样本容量为500 B、C类活动所对应的扇形圆心角度数为 $126 °$ C、选择D类活动的学生人数为50人 D、若该校共有初中学生1200人，则该校选择B类活动的学生大约有320人

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18、已知点 $P (- 1, 5)$ ，将点 $P$ 向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点 $P^{'}$ ．若点 $P^{'}$ 的坐标为 $(m, 3)$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、3 D、5

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19、下列整式运算，计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a^{4})}^{2} = a^{8}$ D、 ${(- 2 a)}^{3} = - 6 a^{3}$

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20、某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，在原正方体中，与“城”字所在面相对的面上的汉字是（）

A、美 B、好 C、教 D、育

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志愿服务次数	1次	2次	3次	4次	5次	6次
频数（人数）	2	5	a	8	b	8