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1、如图， $△ A B C$ 为等腰三角形， $A B = B C = 9 cm$ ，点 $D$ 从 $B$ 点出发沿 $B \to A$ 方向在线段 $B A$ 上以 $a cm/s$ 的速度运动，点 $E$ 从 $C$ 点出发沿 $C \to B$ 方向在线段 $C B$ 上以 $b cm/s$ 的速度运动． $D$ 、 $E$ 两点同时出发，运动时间为 $t s$ ．当点 $D$ 到达点 $A$ 后， $D$ 、 $E$ 两点停止运动．

(1)、如图1，若 $∠ B =60 °$ ，速度 $a = b = 1$ ，连接 $A E$ 、 $C D$ 相交于点 $F$ ．在点 $D$ 到达点 $A$ 前，直接写出 $∠ E F C$ 的度数 $=$ _____；

(2)、如图2，若 $∠ B =60 °$ ，速度 $a = 2$ ， $b = 1$ ，连接 $A E$ 、 $C D$ ，相交于点 $F$ ．当 $A F = C F$ 时，求 $t$ 的值；

(3)、如图3，若 $∠ B = 90 °$ ，速度 $a = 1$ ， $b = 1$ ，连接 $A E$ 、 $C D$ ，当 $A E + C D$ 取得最小值时，求 $\frac{D B}{A B}$ 的值

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、尺规作图：作 $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，若 $A D = C D$ ，求 $∠ B A D$ 的度数．

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3、 $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)、作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、在 $x$ 轴上画出点 $P$ ，使 $P B + P C$ 最小（不写作法）．

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4、证明题：如图，已知 $B$ 为线段 $C D$ 的中点， $A B = E B$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，求证： $A C = E D$ ．

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5、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $B F$ 是 $A C$ 边上的中线，点 $D$ 在 $B F$ 上，连接 $A D$ ，在 $A D$ 的右侧作等边 $△ A D E$ ，连接 $E F$ ，当 $△ A E F$ 周长最小时，则 $∠ F A E$ 的大小是．

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6、如图， $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 11 cm$ ， $B C = 13 cm$ ，点 $M$ 从 $A$ 点出发向 $C$ 以每秒 $3 cm$ 的速度运动；点 $N$ 从 $B$ 点出发向 $C$ 点以每秒 $1 cm$ 的速度运动．点 $M$ 在点 $N$ 出发 $4 s$ 后开始运动，其中一点到达 $C$ 点时两点都停止运动，分别过 $M$ 和 $N$ 作 $M E ⊥ l$ 于 $E$ ， $N F ⊥ l$ 于 $F$ ．设点 $N$ 的运动时间为 $t$ 秒，则当 $t =$ 秒时，以点 $M, E, C$ 为顶点的三角形与以点 $N, F, C$ 为顶点的三角形全等．

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7、如图，在等边三角形 $A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是 $B C$ ， $A B$ 上的点，且 $B E = C D$ ， $A D$ 与 $C E$ 相交于点 $F$ ，连接 $B F$ ，延长 $F E$ 至 $G$ ，使 $F G = F A$ ，若 $△ A B F$ 的面积为16，则 $△ A F G$ 面积是（）

A、16 B、15 C、14 D、13

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8、如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 三点在同一条直线上，连接 $B D$ ， $B E$ ．以下四个结论：① $B D = C E$ ；② $∠ A D B = 45 °$ ；③ $B D ⊥ C E$ ；④ $A D$ 平分 $∠ E D B$ ；其中正确的为（）

A、① B、①② C、①②③ D、①②③④

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ M P N$ ， $P M = P N$ ．若 $A M = 6$ ， $B N = 2$ ，则 $A B =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、10

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $D E$ 垂直平分 $A C$ ， $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ D C B =$ （）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $30 °$

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11、如图，在正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为 $1$ ，则 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 的关系是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 2 = 2 ∠ 1$ C、 $∠ 2 = 90 ° + ∠ 1$ D、 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$

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12、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ．若 $A B = 10$ ， $B E = 4$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、10 B、6 C、4 D、2

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13、如图， $△ A B C ≌ △ A D E$ ，如果 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B C = 7$ ，那么 $D E$ 的长是（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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14、已知抛物线 $y = x^{2} + a x + a + 1$

(1)、请写出它的图像与 $x$ 轴没有交点的充要条件（ $a$ 的取值范围）；

(2)、若 $\forall x > 0$ ，函数图象在 $x$ 轴上方，求 $a$ 的取值范围．

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15、若二次函数 $y = (x - 2)^{2} - 2$ 的图象与 $x$ 轴交于两点 $(x_{1}, 0)$ ， $(x_{2}, 0)$ ，则 $\frac{\sqrt{x_{2}}}{\sqrt{x_{1}}} + \frac{\sqrt{x_{1}}}{\sqrt{x_{2}}} =$ ．

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16、如图，现有棱长为a的8个正方体堆成的一个棱长为2a的正方体，它的主视图、俯视图、左视图均为一个边长为2a的正方形．如果要求从图中上面4个正方体中拿去2个，而三个视图的形状仍不改变，那么拿去的2个正方体的编号应为．

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17、半圆形纸片的半径为 $2 cm$ ，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点 $M$ 与圆心 $O$ 重合，则折痕 $C D$ 的长为 $cm$ ．

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18、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B A$ 的延长线上， $A B = 2 A E$ ， $E C$ ， $B D$ 交于点 $F$ ．若 $B D = 15$ ，则 $D F$ 的长为．

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19、已知点 $(- 2, y_{1})$ ， $(3, y_{2})$ 在二次函数 $y = x^{2} - 2 x + m$ 的图象上，比较 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填 $> 、 <$ 或 $=$ ）．

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20、（1）【知识储备】如图 $1$ ，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，则 $∠ A + ∠ C =$ $°$ ；
（2）【初步探索】如图 $2$ ， $△ A B P$ 内接于 $⊙ O$ ，将 $△ A B P$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，得到 $△ A C D$ ，并使点 $B$ 的对应点 $C$ 落在 $⊙ O$ 上，求证：点 $D 、 C 、 P$ 在同一条直线上；
（3）【类比迁移】如图 $3$ ，等边 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $P$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 上任一点（不与 $B 、 C$ 重合）．连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ，猜想 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 的数量关系，并进行证明．

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