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1、（1）实验操作：如图1，将两个含 $30 °$ 角的全等的三角尺摆放在一起，你能通过实验操作，借助这个图形，找到 $Rt △ A B C$ 的直角边 $B C$ 与斜边 $A B$ 之间的数量关系．
教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请结合图2，写出已知，求证，并证明该结论；
（2）实践思考：如图3，四边形 $A B C D$ 是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕 $E F$ 后再把纸片展平；在 $C D$ 上选一点P，沿 $A P$ 折叠 $△ A D P$ ，使点D恰好落在折痕 $E F$ 上的点M处．求证： $P M = \frac{1}{2} P A$ ．
（3）拓展运用：如图4，已知三角形衣架 $A B C$ 中， $A B = A C = 20 cm$ ， $∠ A B C = 15 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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2、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = α$ ， $D$ 为边 $B C$ 中点，点 $E ， F$ 在 $A B$ ， $A C$ 所在直线上， $∠ E D F = 90 °$ ．

(1)、若 $α = 90 °$ ，如图1，画点 $G$ ，使点 $G$ 与点 $B$ 关于 $D E$ 所在直线对称，连 $E G$ ， $F G$ ，直接写出 $∠ E G F$ 的大小；

(2)、如图2，点 $E$ 在 $A B$ 延长线上，点 $F$ 在 $C A$ 延长线上，点 $G$ 为点 $B$ 关于 $D E$ 所在直线的对称点，连 $F G$ ，求证： $F G = F C$ ．

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3、由小正方形组成的3×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点． $△ A B C$ 的三个顶点均是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)、请在图①中完成画图：先在 $B C$ 上画点D，连 $A D$ ，使 $A D ⊥ B C$ 于点D，再画 $△ A B C$ 的高 $B E$ ；

(2)、请在图②中完成画图：先在 $B C$ 上画点F，连 $A F$ ，使 $A F$ 刚好平分 $△ A B C$ 的面积，再在 $A C$ 上画点G，连 $B G$ ，使 $∠ G B C = ∠ G C B$ ．

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4、一个等腰三角形的一边长为 $5 cm$ ，周长为 $21 cm$ ，求其他两边的长．

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5、如图，D是 $△ A B C$ 的 $A B$ 边上一点，点E是 $A C$ 中点，连DE并延长至点F，使 $E F = D E$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ C F E$ ；

(2)、添加一个条件，使 $D E = \frac{1}{2} B C$ ，请直接写出这个条件（不用说明理由）．

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6、如图，线段 $A B$ ， $C D$ 交于点O，连 $A D$ ， $C B$ ， $A D = C B$ ， $∠ D A B = ∠ B C D$ ．求证： $O A = O C$ ．

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7、如图，点D为 $△ A B C$ 的边 $B C$ 延长线上一点， $C D = A B$ ，若 $∠ A B C = 40 °$ ， $∠ A C D = 70 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数为．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，有如下操作：
（1）分别以点B，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径画弧，分别交于点M，N；
（2）直线 $M N$ 交 $A B$ ， $B C$ 于点D，E；
（3）以点A为圆心，任意长为半径画弧交 $A B$ ， $A C$ 于点G，H；
（4）分别以点G，H为圆心，大于 $\frac{1}{2} G H$ 的长为半径画弧，在 $∠ B A C$ 的内部交于点P；
（5）射线 $A P$ 交直线 $M N$ 于点Q，交 $B C$ 于点F．现有以下结论：
①若 $∠ A C B = 70 °$ ， $∠ B A C = 80 °$ ，则 $∠ A B C = 30 °$ ；
②点D为 $A B$ 中点；
③若 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，则 $△ A B F$ 的面积是 $△ A C F$ 的面积的2倍；
④若 $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $D E = \sqrt{3}$ ， $△ A C F$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $E F$ 的长为1．
其中正确的结论序号是．

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9、如图1， $∠ A_{1} + ∠ A_{2} + \dots + ∠ A_{6} = 360 °$ ，如图2， $∠ A_{1} + ∠ A_{2} + \dots + ∠ A_{7} + ∠ A_{8} = 720 °$ ，如图3， $∠ A_{1} + ∠ A_{2} + \dots + ∠ A_{9} + ∠ A_{10} = 1080 °$ ．依此类推： $∠ A_{1} + ∠ A_{2} + \dots + ∠ A_{19} + ∠ A_{20}$ 的度数和是°．

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10、如图， $A$ ， $B$ 为 $4 \times 4$ 方格纸中格点上的两点，若以 $A B$ 为边，在方格中取一点 $C$ （ $C$ 在格点上），使得 $△ A B C$ 为等腰三角形，则点 $C$ 的个数为（）

A、 $9$ B、 $8$ C、 $7$ D、 $6$

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11、马小虎在计算凸多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为 $500 °$ ，则这个多边形的边数是（）．

A、4 B、5 C、6 D、7

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12、过 $n$ 边形的一个顶点可以画 $7$ 条对角线，将它分成 $m$ 个三角形，则 $m + n$ 的值是（　　）

A、 $16$ B、 $17$ C、 $18$ D、 $19$

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13、一个凸多边形的每个内角均为 $90 °$ ，则这个多边形对角线的条数是（）．

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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14、等腰三角形的一边长为4，一边长为9，则它的周长是（）．

A、17 B、22 C、17或22 D、1

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15、如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（）

A、两点之间，线段最短 B、三角形的稳定性 C、两点确定一条直线 D、两直线平行，同位角相等

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16、已知三角形的两边分别为 $5$ 和 $6$ ，则第三边可能是（）．

A、 $1$ B、 $2$ C、 $11$ D、 $12$

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17、观察下列方程及解的特征：   ⑴x+ $\frac{1}{x}$ =2的解为x₁=x₂=1；
⑵x+ $\frac{1}{x}$ = $\frac{5}{2}$ 的解为x₁=2，x₂= $\frac{1}{2}$ ；
⑶x+ $\frac{1}{x}$ = $\frac{10}{3}$ 的解为x₁=3，x₂= $\frac{1}{3}$ ；
解答下列问题：
（1）请猜想：方程x+ $\frac{1}{x}$ = $\frac{26}{5}$ 的解为________；
（2）请猜想：关于x的方程x+ $\frac{1}{x}$ ═________ 的解为x₁=a，x₂= $\frac{1}{a}$ （a≠0）；
（3）下面以解方程x+ $\frac{1}{x}$ = $\frac{26}{5}$ 为例，验证（1）中猜想结论的正确性．

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18、如图，M是 $⊙ O$ 的半径 $O A$ 的中点，弦 $B C ⊥ A O$ 于点M，过点C作 $C D ⊥ B A$ 交 $B A$ 的延长线于点D，连接 $A C$ ．
（1）求 $∠ O A C$ 的值；
（2）求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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19、把两个大小相同的含 $30 °$ 角的三角尺如图放置，若 $A C = 6 \sqrt{6}$ ，求三角尺各边的长．

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20、 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、如果 $A C = 16$ ， $∠ A = 60 °$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、如果 $A C = 16$ ， $sin A = \frac{3}{5}$ ，求 $B C$ 的长．

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