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1、将一张长、宽分别为4cm和2cm的长方形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，使点A，C分别落在长方形纸片内的点A'，C'处，折痕BE，DF 分别交AD，BC于点E，F（0cm<AE<2cm），且满足 $△ A^{'} B E ≅ △ C^{'} D F .$ 喜欢探究的小明通过独立思考，得到两个结论：①当点E，A'，C'，F在一条直线上时， $A^{'} E = \frac{2}{3} c m;$ ②当∠AEB=60°时，四边形A'EC'F 是菱形.下列判断中，正确的是（）

A、①正确，②错误 B、①错误，②正确 C、①②都正确 D、①②都错误

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2、如图所示，已知矩形ABCD，点E 在CB 延长线上，点 F 在BC 延长线上，过点F 作FH⊥EF 交ED 的延长线于点 H，连结 AF 交EH 于点G，GE=GH.

(1)、求证：BE=CF；

(2)、当 $\frac{A B}{F H} = \frac{5}{6}, A D = 4$ 时，求 EF 的长.

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3、如图所示，在矩形ABCD 中，连结BD，分别以 B，D 为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BD 的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点，作直线 PQ，分别与 AD，BC 交于点 M，N，连结BM，DN.若AD=4，AB=2.则四边形MBND 的周长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、5 C、10 D、20

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4、如图所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上一点，∠AED=90°，∠EAD=30°，F是AD 边的中点，连结EF.若EF=4，则BE 的长度为.

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5、如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点E 在DC 上，把△ADE 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，则cos∠CEF 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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6、如图所示，在矩形ABCD中，AB=2AD，E 是CD 上一点，且. $A E = A B,$ 则∠CBE 的度数为（）

A、30° B、22.5° C、15° D、以上答案都不对

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7、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，则下列结论中，一定正确的是（）

A、AB=AD B、AC⊥BD C、AC=BD D、∠ACB=∠ACD

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8、如图所示，四边形ABCD 是矩形，E 是BC 边上一点，点F 在BC 的延长线上，且CF=BE.

(1)、求证：四边形AEFD 是平行四边形.

(2)、连结ED，若∠AED=90°，AB=4，BE=2，求四边形AEFD 的面积.

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9、【证明体验】

(1)、如图甲所示，AD 为△ABC 的角平分线， $∠ A D C = 6 0^{\circ},$ ，点 E 在 AB上，AE=AC.求证：DE平分∠ADB.

(2)、【思考探究】
如图乙所示，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G.若FB=FC，DG=2，CD=3，求 BD 的长.

(3)、【拓展延伸】
如图丙所示，在四边形ABCD 中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA=2∠DCA，点E在AC上，∠EDC=∠ABC.若BC=5，CD=2 $\sqrt{5}$ ， AD=2AE，求AC 的长.

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10、如图所示，已知△ABC 是边长为6cm的等边三角形，动点 P，Q 同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点 P 运动的速度是 $1 c m / s,$ 点Q 运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q 两点都停止运动，设运动时间为t（s)，解答下列问题：

(1)、当t=2时，请判断△BPQ 的形状，并说明理由.

(2)、设 $△ B P Q$ 的面积为 $S (c m^{2}),$ ，求 S 与t之间的函数表达式.

(3)、作QR∥BA 交AC 于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ?

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11、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折 $∠ C,$ 使点C 落在斜边AB 上某一点 D 处，折痕为 EF（点 E，F分别在边AC，BC上).

(1)、若 $△ C E F$ 与△ABC 相似，则：
①当AC=BC=2时，AD 的长为.
②当AC=3，BC=4时，AD 的长为.

(2)、当D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗? 请说明理由.

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12、如图所示，BC，AD 相交于点C，△ABC∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3.

(1)、求CE 的长.

(2)、求证：BC⊥AD.

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13、如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-4，0)，（0，4)，点C（3，n)在第一象限内，连结AC，BC.已知 $∠ B C A = 2 ∠ C A O,$ 则n=

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14、如图所示，在矩形 ABCD 中，F 是 DC 上一点， $B F ⟂ A C,$ ，垂足为点E， $\frac{A D}{A B}$ $= \frac{1}{2}, △ C E F$ 的面积为S₁ ， △AEB的面积为S $S_{2},$ 则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值等于.

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15、如图所示，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD 的长为.

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16、已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a，b的比例中项，那么c的长为

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17、如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在BC 边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF=6，则线段EF 的长为（ )

A、2 B、3 C、4 D、5

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18、如图甲所示，长、宽均为3，高为8的长方体容器放在水平桌面上，里面盛有水，水面高度为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图乙是此时情景的平面示意图，则水面的高度为（ )

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{32}{5}$ C、 $\frac{12 \sqrt{34}}{17}$ D、 $\frac{20 \sqrt{34}}{17}$

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19、如图所示，在△ABC中，E，F，D分别是边AB，AC，BC上的点，且满足 $\frac{A E}{E B}$ $= \frac{A F}{F C} = \frac{1}{2},$ 则△EFD 与△ABC 的面积比为（ )

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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20、如图所示，树AB 在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高. $P O = 5 m,$ 树影AC=3m，树AB与路灯O的水平距离AP=4.5m，则树的高AB是（ )

A、2m B、3m C、 $\frac{3}{2} m$ D、 $\frac{10}{3} m$

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