相关试卷

1、已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A C = 3, B C = 4$ ，则 $s i n A$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上两点，若 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{C D}$ ， $∠ C O D = 70 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数是（）

A、 $35 °$ B、 $55 °$ C、 $70 °$ D、 $140 °$

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3、已知 $2 x = 3 y$ ，则下列比例式成立的是（）

A、 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ B、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ C、 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{x}{3} = \frac{2}{y}$

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4、综合与探究：运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．
在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片（图1）、一棵生长的幼苗（图2）都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数 $y = - a x^{2} + 4 a x + 4 a + 1$ 图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点 $D$ 的坐标；
【任务二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，心形叶片的对称轴直线 $y = x + 2$ 与坐标轴交于 $A, B$ 两点，抛物线与 $x$ 轴交于另一点 $C$ ，点 $C, C_{1}$ 是叶片上的一对对称点， $C C_{1}$ 交直线 $A B$ 于点 $G$ ．求叶片此处的宽度 $C C_{1}$ ；
【任务三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数 $y = - a x^{2} + 4 a x + 4 a + 1$ 图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务一中的二次函数．已知直线 $P D$ （点 $P$ 为叶尖）与水平线的夹角为 $45 °$ ，求幼苗叶片的长度 $P D$ ．

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5、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 于点 $D, O$ 是斜边 $A B$ 上一点，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 的长为半径的 $⊙ O$ 恰好经过点 $D$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 3, C D = \frac{3}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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6、第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为 $x$ 元 $(x > 45)$ ．

(1)、请你写出销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）的函数关系式．

(2)、若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价 $x$ 应为多少元？

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7、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，C是 $⊙ O$ 外一点， $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A B$ 交过C点的直径于点D， $O A ⊥ C D$ ，试判断 $△ B C D$ 的形状，并说明你的理由．

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8、解下列方程：

(1)、 ${(x + 1)}^{2} - 81 = 0$ ．

(2)、 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ ．

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9、如图，扇形 $A O B$ 的圆心角为直角，边长为2的正方形 $O C D E$ 的顶点分别在半径 $O A$ 、 $O B$ 和弧 $A B$ 上．则阴影部分的面积为．

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10、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，若 $C D = 8$ ， $O E = 3$ ，则 $⊙ O$ 的半径为．

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11、将抛物线 $y = 3 x^{2}$ ，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式是．

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12、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2}$ 的值为．

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13、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于点 $A (6, 0)$ ，顶点坐标为 $(2, - 4)$ ，结合图象分析如下结论： $①$ $a b c > 0$ ； $②$ 当 $0 < x < 3$ 时，y随x的增大而增大； $③$ ${(a + c)}^{2} - b^{2} > 0$ ； $④$ $b^{2} - 16 a > 4 a c$ ．其中正确的有（）

A、 $①$ $②$ B、 $①$ $③$ C、 $②$ $③$ D、 $②$ $④$

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14、如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分，它的对称轴是直线 $x = - 1$ ，与x轴的一个交点为 $(2, 0)$ ，则与x轴的另一个交点为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $(- 3.5, 0)$ D、 $(- 4 ， 0)$

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15、下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、多项式 $2 x^{2} - 8$ 彻底因式分解的结果是（）

A、 $2 (x^{2} - 4)$ B、 $2 (x + 4) (x - 4)$ C、 $(2 x + 2) (x - 4)$ D、 $2 (x + 2) (x - 2)$

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17、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3,0)$ ， $B (1,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图甲，在 $y$ 轴上找一点 $D$ ，使 $△ A C D$ 为等腰三角形，请直接写出点 $D$ 的坐标；

(3)、如图乙，点 $P$ 为抛物线对称轴上一点，是否存在 $P$ 、 $Q$ 两点使以点 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出 $P$ 、 $Q$ 两点的坐标，若不存在，请说明理由．

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18、如图，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为圆上一点， $A D$ 垂直于过点 $C$ 的直线，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，垂足为点 $D$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，求 $D E$ 的长．

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19、如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港 $O$ ，轮船甲沿北偏东 $60 °$ 的方向航行，轮船乙沿东南方向航行， $2$ 小时后，轮船甲到达 $A$ 处，轮船乙到达 $B$ 处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向 $.$ 已知轮船甲的速度为每小时 $25$ 海里，求轮船乙的速度 $. ($ 结果保留根号 $)$

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20、列方程 $($ 组 $)$ 解应用题
如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由 $10$ 块形状大小相同的长方形墙砖砌成．

(1)、求一块长方形墙砖的长和宽；

(2)、求电视背景墙的面积．

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