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1、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 A(3，4)，B(4，1)，C(1，2).
⑴ 将 $△ A B C$ 先向左平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的对应点分别是 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，请在图中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵将 $△ A B C$ 绕点 (0，0) 顺时针旋转 $9 0^{°}$ 得到图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，其中点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ 的对应点分别是 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ，请在图中画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；
⑶ 观察线段 $B_{1} C_{1}$ 和线段 $B_{2} C_{2}$ ，它们所在直线的位置关系为 ▲ .

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2、先化简，再求值： $(x + 2 - \frac{5}{x - 2}) + \frac{x - 3}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中 $x = 1$ .

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3、下面是小明解不等式， ${\begin{array}{l} \frac{1 - 2 x}{3} + 1 \geq 0, \\ 3 (1 - x) > 2 x - 4 \end{array}$ 的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：不等式①，去分母，得 $1 - 2 x + 3 \geq 0$ ，（第一步）
移项，合并同类项，得 $- 2 x \geq - 4$ ，（第二步）
系数化为1，得 $x \geq 2$ ，（第三步）
解不等式②，得 $x < \frac{7}{5}$ ，（第四步）|
所以原不等式组无解. （第五步）
根据以上材料，解答下列问题：

(1)、第一步去分母的依据是.

(2)、在解答过程中，从第步开始出错，错误原因是.

(3)、解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{1 - 2 x}{3} + 1 \geq 0, \\ 3 (1 - x) > 2 x - 4 \end{array}$

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4、如图，点P是长方形ABCD边上的一个动点，从A点开始，沿 $A \to D \to C \to B \to A$ 顺时针运动一周，运动速度是1cm/s.当运动时间t为5s或35s时，点P均满足 $P B = P D$ ，则AB的长为 cm.

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5、如图，平行四边形ABCD的面积为7，对角线AC，BD交于点O，线段EF经过点O，交AD于点E，交BC于点F，则阴影部分面积为 .

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6、如果不等式组 ${\begin{array}{l} x + 8 < 4 x - 1 \\ x > m \end{array}$ 的解集是 $x > 3$ ，则 m 的值可以是（写出一个符合要求的值即可）.

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7、如图，八角窗花的窗格是中国古代建筑中一抹独到的风景，其外观是一个正八边形，则它的每一个外角为 $^{°}$ .

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 12 0^{°}$ ，将BC边绕着点A逆时针旋转90°，旋转后的对应线段B'C'与BC边交于点E，连接AE，则AE的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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9、某企业要购进两款机器狗共5只.如图所示，已知 Cyber Dog 2 单价是 1.3 万元/只，Unitree Go 2 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则 Cyber Dog 2 最多可以购进（）

A、1 只 B、2 只 C、3 只 D、4 只

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10、如图，一次函数 $y_{1} = x + b$ (b是常数)，与正比例函数 $y_{2} = k x$ (k是常数， $k \neq 0$ ) 的图象相交于点 M(2， 1)，则关于x的不等式 $k x > x + b$ 的解集是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x < 2$ D、 $x \leq 2$

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11、如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也.合矩以为方，中规乃行”.如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若 $A O = C O$ ，且 $B O = D O$ ，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（）

A、对角线互相平分 B、两组对边分别相等 C、一组对边平行且相等 D、两组对边分别平行

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12、下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（）

A、 $(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2$ B、 $x^{2} - 4 x + 5 = (x - 2)^{2} + 1$ C、 $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$ D、 $x^{2} + 5 x + 6 = x (x + 5) + 6$

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13、下列分式是最简分式的是（）

A、 $\frac{1}{x - y}$ B、 $\frac{4}{8 a}$ C、 $\frac{x - y}{x^{2} - y^{2}}$ D、 $\frac{x^{2} - x}{x}$

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14、已知 $x < y$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $x + 1 > y + 1$ B、 $- 2 x < - 2 y$ C、 $x - 2 > y - 2$ D、 $\frac{x}{2} < \frac{y}{2}$

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15、下列由 AI 设计的四组图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、阅读理解：
定义：若分式 $A$ 和分式 $B$ 满足 $A - B = n$ （ $n$ 为正整数），则称 $A$ 是 $B$ 的“ $n$ 差分式”．
例如： $\frac{3 x}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} = 3 ，$ 我们称 $\frac{3 x}{x - 1}$ 是 $\frac{3}{x - 1}$ 的“ $3$ 差分式”，
解答下列问题：

(1)、分式 $\frac{1}{1 - x}$ 是分式 $\frac{x}{1 - x}$ 的“ 差分式”．

(2)、分式 $A = \frac{C}{9 - x^{2}}$ 是分式 $B = \frac{2 x}{3 - x}$ 的“ $2$ 差分式”．
① $C =$ （含 $x$ 的代数式表示）；
②若 $A$ 的值为正整数， $x$ 为正整数，求 $A$ 的值．

(3)、已知 $x y = 2$ ，分式 $\frac{x - 3 y}{y}$ 是 $- \frac{y + x}{x}$ 的“ $4$ 差分式”（其中 $x ， y$ 为正数），求 $(x - y)$ 的值．

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17、如图1所示是一种简易手机支架，由底座、支撑板和托架组成，将手机放置在托架上，图2是其简易结构图．现测量托架 $A B$ 长 $8 cm ， D B$ 长 $2 cm$ ，支撑板 $C D$ 长 $6 cm$ ， $A B$ 可绕点 $D$ 转动， $C D$ 可绕点 $C$ 转动．

(1)、若水平视线 $M F$ 与 $A B$ 的夹角 $∠ M F D = 50 °$ ， $∠ C = 35 °$ ，求 $∠ C D B$ 的度数；

(2)、当 $∠ C = 30 °$ ， $∠ C D B = 80 °$ 时，求点 $A$ 到底座 $C E$ 的距离．（结果精确到0.1，参考： $sin 20^{\circ} \approx 0.34 ， cos 20^{\circ} \approx 0.94 ， tan 20^{\circ} \approx 0.36$ ）

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18、某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理，描述和分析如下：成绩得分用 $x$ 表示（ $x$ 为整数）共分成四组： $A$ ． $80 < x \leq 85$ ； $B$ ． $85 < x \leq 90$ ； $C$ ． $90 < x \leq 95$ ； $D$ ． $95 < x \leq 100$ ．
七年级10名学生的成绩是：82，86，86，88，90，96，96，96，100，100．
八年级10名学生的成绩在 $C$ 组中的数据是：90，94，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
$a$
$b$
$c$
八年级
92
94
100
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、直接写出图表中 $a$ ， $b$ 的值： $a =$ ______， $b =$ ______， $c =$ ______．

(2)、由表格中数据可推出，八年级这10名同学中，成绩在 $D$ 组（ $95 < x \leq 100$ ）的人数有______人．

(3)、若八年级参加竞赛的学生共100人，估计八年级参加竞赛成绩在 $D$ 组（ $95 < x \leq 100$ ）的学生人数．

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19、计算： $|{(- 2025)}^{0}| - 10 sin 45 ° + {(- \frac{1}{5})}^{- 1} + \sqrt{5} \times \sqrt{10}$ ．

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20、已知 $a$ ， $b$ 满足 $\sqrt{8 - a} + \sqrt{a - 8} = |b + 9|$ ，则 ${(a + b)}^{2025}$ 的值为．

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年级	平均数	中位数	众数
七年级	$a$	$b$	$c$
八年级	92	94	100