相关试卷

1、定义：在钝角三角形中，若钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为妙趣三角形。这个锐角叫做妙趣角。例如，如图1，△ABC是妙趣三角形，∠C是妙趣角。若∠B=130°，则∠C=∠B-90°=40°.
【概念理解】

(1)、当妙趣三角形是等腰三角形时，妙趣角的度数为：

(2)、【性质探究】
如图2.数学兴趣小组发现，当△ABC是妙趣三角形，∠B是钝角.∠A是妙趣角时，存在 $t a n A = \frac{B C}{A C}$ 的结论，请你证明这个结论：

(3)、【拓展应用】
如图3，AB是⊙O的直径，点 C，D 是圆上的两点，弦CD与AB 交于点 E，连接AD，BD，△ACE和△BCD 都是妙趣三角形，且∠CAE、∠DCB 分别为妙趣角.求器的值.

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2、某校数学“综合与实践”小组在测量当地建筑书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告：

测量对象	书圣阁
测量目的	学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具	无人机
测量方案	如测量示意图所示(图中各点均在同一竖直平面内)：先将无人机从地面的点C处垂直上升90.7m至点 P.此时测得书圣阁的顶端A的

	俯角∠DPA为16°：再将无人机从点P处向右沿水平方向飞行60m至点D，然后沿垂直方向上升20m至点Q，此时测得书圣阁的端A的俯角. $∠ E Q A = 45 ° .$
测量示意图

请求出书圣阁的高度AB.(结果保留整数，参考数据： $s i n 1 6^{\circ} \approx 0.28 . c o s 1 6^{\circ} \approx 0.96 . t a n 1 6^{\circ} \approx 0.29)$

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3、某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个?

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4、“爱你老己”是2025年底流行的网络热梗.“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话。亲切又幽默。九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上.

(1)、小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率.

(2)、小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率.

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5、如图，在平行四边形ABCD中，已知AD>AB.

(1)、尺规作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF：(保留作图痕迹，不写作法)

(2)、求证：四边形ABEF 是菱形.

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6、先化简，再求值： ${(2 a + b)}^{2} - (b - 2 a) (b + 2 a),$ 其中a=-2，b=1.

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7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点 F处，点 B经过的路径为BF，则图中阴影部分的面积是.

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8、如图，在△ABC中，DE∥BC，若( $\frac{A E}{E C} = \frac{1}{2},$ 则△DOE与△BOC的面积之比为.

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9、计算 $\frac{m}{m + 1} + \frac{1}{m + 1}$ 的结果是.

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10、计算： $4 c o s 3 0^{\circ} + {(3.14 - π)}^{0} =$ .

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11、一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升6πcm时滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为 ( )

A、36° B、54° C、72° D、108°

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12、已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x + m (m$ 为常数，且m>0) 的图象上有三点A (-2，y₁)，B(1，y₂)， C(3，y₃)，则y₁、y₂、y₃的大小关系是( )

A、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$

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13、中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四：人出少半，不足三.问人数，琎价各几何?其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 $\frac{1}{2}$ 钱，会多出4钱：每人出 $\frac{1}{3}$ 钱，又差了3钱.问人数，琎价各是多少?设人数为x，琎价为y，则可列方程组为( )

A、 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x + 4 \\ y = \frac{1}{3} x + 3 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x - 4 \\ y = \frac{1}{3} x + 3 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x - 4 \\ y = \frac{1}{3} x - 3 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x + 4 \\ y = \frac{1}{3} x - 3 \end{matrix}$

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14、如图是由5个小正方体组成的几何体，则它的俯视图是( )

A、 B、 C、 D、

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15、将含45°角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上.若m∥n，∠1=30°，则∠2的度数为( )

A、30° B、45° C、60° D、75°

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16、下列各数中，是无理数的为( )

A、-1 B、3.33333 C、 $\sqrt{2}$ D、3.14

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17、2026 的相反数是( )

A、- 2026 B、2026 C、2026 D、 $- \frac{1}{2026}$

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18、探究与证明
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，探究小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究.
【特例研究】
在正方形ABCD中，AC， BD相交于点O.
图1 图2 图3 备用图

(1)、如图1，△AOB可以看成是△ADC绕点A顺时针旋转并缩小得到的，此时旋转角的度数为；

(2)、如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF(点O，B的对应点分别为点E ，F)，使得点E落在OD上，点F落在BC上，求 $\frac{B F}{O E}$ 的值；

(3)、【类比探究】
如图3，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，O 是 AB 的垂直平分线与 BD 的交点，将△AOB绕点 A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF(点O，B的对应点分别为点 E，F)，使得点E落在OD上，点F落在BC上.猜想 $\frac{B F}{O E}$ 的值是否与α有关，并说明理由；

(4)、若(3)中∠ABC=2β，其余条件不变，请直接写出 BA ， BE ， BF 之间的数量关系：(用含β的式子表示).

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19、综合与实践
跨学科主题学习活动中，某实践小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用.
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放.从弹珠运动到 A 点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t(s)、运动快慢v(cm/s)、运动路程y(cm)的数据.
图1 图2
【收集整理数据】
运动时间t(s)
0
4
8
12
16
20
...
运动快慢v(cm/s)
12
10
8
6
4
2
...
运动路程 y(cm)
0
44
80
108
128
140
...
【数学建模探究】

(1)、【模型一】根据表格中v和t的数据在图2的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用 ▲ 函数表示(选填：一次、二次、反比例).利用表中数据可以求出这个函数的解析式为 ▲ (不需要写出自变量t的取值范围).

(2)、【模型二】根据猜想、探究得知 y与t满足 $y = a t^{2} + b t (a \neq 0, b \neq 0),$ 请根据表格中的数据求出y与t之间的函数关系式(不需要写出自变量t的取值范围)，并从表格中再选取一组数据进行验证.

(3)、【应用】如图1所示，当弹珠到达水平轨道上A点时，A点前方 B点处有一辆电动实验小车以3cm/s的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少?

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20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点 E，且BD=BC.

(1)、求证：AB是⊙O的切线；

(2)、连接OB交⊙O于点 F ，若 $A D = \sqrt{3}, A E = 1,$ 求 $\hat{C F}$ 的长.

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运动时间t(s)	0	4	8	12	16	20	...
运动快慢v(cm/s)	12	10	8	6	4	2	...
运动路程 y(cm)	0	44	80	108	128	140	...