相关试卷

1、先阅读，再解答：由( $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = {(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 2$ 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2} .$
请完成下列问题：

(1)、 $\sqrt{2} - 1$ 的有理化因式是；

(2)、化去式子分母中的根号： $\frac{3}{3 - \sqrt{6}} =$ ； (直接写结果)

(3)、利用你发现的规律计算下列式子的值： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2023}}) (\sqrt{2024} + 1) .$

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2、数轴上的点与实数一一对应.如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C分别代表实数a，b，c，其中 $A B = 2 \sqrt{2}, B C = \sqrt{2} .$ 设实数a，b，c的和为p.

(1)、若点 B 为原点，求a，c，p的值；

(2)、若原点为O，且 $C O = 5 \sqrt{2},$ 求p 的值.

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3、节日期间，八(1)班的小常同学想要送妈妈一个礼物，需要制作一个合适的包装盒，要求是一个底面积为30 cm² ，长、宽、高的比为3：2：1的长方体包装盒.求：

(1)、这个长方体的长、宽、高分别是多少?

(2)、长方体的表面积是多少?

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4、已知 $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}, y = \sqrt{3} - \sqrt{2} .$

(1)、填空：|y-x|=；

(2)、求代数式( ${(x - y)}^{2} - x y$ 的值.

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5、全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失 12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：( $d = 7 \sqrt{t - 12}$ (t≥12)，其中d表示苔藓的直径(单位：厘米)，t代表冰川消失的时间(单位：年).如果测得一些苔藓的直径是 35厘米，问冰川约是在多少年前消失的?

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6、已知 $\sqrt{x - 2}$ 是最简二次根式，且与 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 可以合并，求 $\sqrt{x - 2}$ 与 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的乘积.

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7、计算： $2 \sqrt{6} \times 3 \sqrt{\frac{1}{2}} \div \sqrt{3} .$

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8、计算： $2 \sqrt{28} + \sqrt{7} - \sqrt{63} .$

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9、据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度h(米)与其起跳速度v(米/秒)之间满足 $h = \frac{v^{2}}{2 g}$ (其中g=10 米/秒²).若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高4 米，则其起跳时的速度应为米/秒.(结果化为最简)

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10、小静设计了一个长方形，已知长方形的长为 $\sqrt{140 π},$ 宽为 $\sqrt{35 π} .$ .她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为.

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11、已知二次根式 $\sqrt{7 - a}$ 是整数，则自然数a的所有可能结果为.

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12、二次根式 $\sqrt{3 - m}$ 在实数范围有意义，则m的值可以为.(写出一个即可)

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13、比较大小： $\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$ $\frac{1}{3}$ (填“<”“=”或“>”).

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14、若x为实数，在“( $\sqrt{5}$ +3)□x” 的“□”中添上一种运算符号(在“+，-，×，÷”中选择任一种)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( )

A、 $\sqrt{5} - 3$ B、 $\sqrt{5} + 3$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 - \sqrt{5}$

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15、计算式子( ${(\sqrt{3} - 2)}^{2025} \times {(\sqrt{3} + 2)}^{2024}$ 的结果是( )

A、 $\sqrt{3} - 2$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、-1 D、1

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16、下列各式能够与 $\sqrt{3}$ 进行合并的是( )

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{24}$ C、 $\sqrt{125}$ D、 $\sqrt{12}$

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17、下列各式：① $\sqrt{5}$ 、② $\sqrt{7}$ 、③ $\sqrt{12}$ 、④ $\sqrt{3}$ ，其中最简二次根式有( )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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18、下列式子中，一定是二次根式的是( )

A、 $\sqrt{- 2}$ B、 $\sqrt{x + 1}$ C、 $\sqrt{9}$ D、 $\sqrt[3]{8}$

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19、【问题情境】
如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一动点(不与点A，C重合)，连接DE，过点 E作 EF⊥DE，交 BC 于点 F，以 DE，EF 为邻边作矩形 DEFG，连接CG.

(1)、【基础探究】
如图1，求证：四边形 DEFG 是正方形；

(2)、【拓展迁移】
如图2，已知正方形ABCD 的边长为 $\sqrt{3} + 1,$ 当 $∠ A D E = 3 0^{\circ}$ 时，求CG的长.

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20、如图，函数 $y = \frac{1}{2} x + 3$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C 与点 A关于y轴对称.

(1)、求直线 BC的函数解析式；

(2)、若点P是直线AB上一动点，过点 P作y轴的平行线，交直线BC 于点Q，连接AQ.若△ABQ 的面积为3，求点 P 的坐标.

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