相关试卷

1、已知实数m，n满足 $m - n^{2} = 1,$ 则代数式 $m^{2} + 2 n^{2} + 4 m - 2$ 的最小值为.

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2、已知a，b满足 $a^{2} - 4 a - 5 = 0, b^{2} - 4 b - 5 = 0,$ 求 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值.

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3、阅读下面的材料：
利用完全平方公式（ ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2},$ 通过配方可对 $a^{2} + b^{2}$ 进行适当的变形，如： $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ 或 $a^{2} + b^{2} = （ a -$ ${b ）}^{2} + 2 a b,$ 从而使某些问题得到解决.
例：已知a+b=5， ab=3，求， $a^{2} + b^{2}$ 的值.
解：（ $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 3 = 19 .$
通过对例题的理解，解决下列问题：

(1)、若a-b=2， ab=3，求（ $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(2)、若 $a + \frac{1}{a} = 6,$ 求 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ 的值；

(3)、若n满足（ ${(n - 2024)}^{2} + {(2023 - n)}^{2} = 1,$ 求式子（n-2024）·（2023-n）的值.

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4、已知 $m^{2} - 3 n + 1 = 0,$ 则 $\frac{n}{m^{2} + 1}$ 的值是.

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5、已知1<x<2，则化简 $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} + ∣ x - 2 ∣$ 的结果为.

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6、问题：求式子 $2 a + \sqrt{a^{2} - 10 a + 25}$ 的值，其中a=3.
小宇的解答过程如下：
解： $2 a + \sqrt{a^{2} - 10 a + 25}$
$= 2 a + \sqrt{{(a - 5)}^{2}} \dots$ 第一步
=2a+a-5…第二步
=3a-5.···第三步
当a=3时，原式=3×3-5=4.…第四步

(1)、小宇的解答从第步开始出错；

(2)、请写出正确的解答过程.

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7、已知 $a = \sqrt{2}, b = \frac{\sqrt{2}}{2},$ 显然ab=1，观察下列等式：
$P_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} = 1, P_{2} = \frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} = 1,$ $P_{3} = \frac{1}{1 + a^{3}} + \frac{1}{1 + b^{3}} = 1 .$

(1)、猜想： $① P_{4} = \frac{1}{1 + a^{4}} + \frac{1}{1 + b^{4}} =$ .②Pn==.

(2)、请证明（1）中猜想②成立.

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8、计算 $\sqrt{9^{2} - 6^{2}}$ 所得结果（）

A、3 B、 $\sqrt{6}$ C、3 $\sqrt{5}$ D、 $\pm 3 \sqrt{5}$

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9、以下是小滨计算 $\sqrt{12} \div \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{3}{4}}$ 的过程：
解：原式 $= 2 \sqrt{3} \div \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{3} = \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} .$
小滨的解答过程是否有错误?如果有错误，写出正确的解答过程.

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10、计算：

(1)、 ${(- \sqrt{5})}^{2} - \sqrt{16} + \sqrt{{(- 2)}^{2}};$

(2)、 ${(\sqrt{\frac{2}{5}})}^{2} - \sqrt{0 . 1^{2}} - \sqrt{\frac{1}{4}};$

(3)、 ${(\sqrt{a})}^{2} + \sqrt{a^{2}} (a \geq 0) .$

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11、下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{5} = \sqrt{10}$ C、 $2 \div \sqrt{2} = 1$ D、 $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = - 5$

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12、下列计算正确的是（）

A、 $- \sqrt{{(- 7)}^{2}} = 7$ B、 $\sqrt{{(- 7)}^{2}} = - 7$ C、 $\sqrt{{(- 7)}^{2}} = \pm 7$ D、 $\sqrt{{(- 7)}^{2}} = 7$

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13、

二次根式加减法

（1）把各二次根式化成最简二次根式；

（2）类似于合并同类项，把含有被开方数相同的二次根式的项进行合并

二次根式乘除法

√a×√b=⑦（a≥0，b≥0）；

⑧（a≥0，b>0）

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14、

二次根式

表示算术平方根的代数式叫做二次根式

最简

二次根式

（1）被开方数中不含分母；

（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式

二次根式的性质

（1）√a≥0，a≥0（双重非负性）；

$(2) (\sqrt{a})^{2} = ②$ $(a \geq 0);$

$(3) \sqrt{a^{2}} = | a | = \{\begin{matrix} ③______(a \geq 0), \\ ④______（ a < 0 ）; \end{matrix}$

$(4) \sqrt{a b} =$ ⑤ $(a \geq 0, b \geq 0)$

$(5) \sqrt{\frac{a}{b}} =$ ⑥ $(a \geq 0, b ＞ 0)$

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15、实数-8的立方根是

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16、 16 的平方根是（）

A、2 B、-4 C、4 D、±4

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17、
a>0
a=0
a<0
等于其本身的数
平方根
± $\sqrt{a}$ （一正一负）
0
没有
0
算术
平方根
$\sqrt{a}$
0
没有
①
立方根
3 $\sqrt{a}$
0
$\sqrt{a}$
0，1，-1

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18、观察下面的等式：
$\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}, \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}, \frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} \dots \dots$

(1)、按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）；

(2)、请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的.

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19、已知a，b是两个不相等的实数，且ab≠0.

(1)、若a=2b，求 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值；

(2)、若a>0，b>0，求证： $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2 .$

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20、已知 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1,$ 且a≠-b，求 $\frac{a b - a}{a + b}$ 的值.

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	a>0	a=0	a<0	等于其本身的数
平方根	± $\sqrt{a}$ （一正一负）	0	没有	0
算术平方根	$\sqrt{a}$	0	没有	①
立方根	3 $\sqrt{a}$	0	$\sqrt{a}$	0，1，-1