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1、【问题背景】菱形 $A B C D$ 的边长为6，其中 $∠ D A B = 60 °$ ， E是 $B C$ 边上的一个动点，作射线 $A E$ ，点D关于直线 $A E$ 的对称点为F，连接 $B F$ ，直线 $B F$ 与射线 $A E$ 交于点G，连接 $D F$ 、 $D G$ ．
【知识技能】

(1)、如图1，连接 $A F$ ，求证∶ $∠ A B F = ∠ A D G$ ；

(2)、如图2，连接 $D B$ ，求证∶ $D B^{2} = A E \cdot D G$ ；

(3)、【拓展探索】
当E在直线 $B C$ 上运动时，求 $B E = 2$ 时， $D G$ 的长度是．

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2、新学期，同学们布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度 $A B = 1 m$ ，门轴A到墙角E的距离 $A E = 0.5 m$ ，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被黑板墙 $E B^{'}$ 阻挡， $E B^{'} ⊥ E A$ ，门边 $B C$ 靠在墙 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的位置．

(1)、门打开的最大角度 $∠ B A B^{'} =$ $°$ ；

(2)、教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧 $P R$ 与墙 $E A$ 的距离为 $0.5 m$ ，且该矩形课桌 $P I Q R$ 的边 $P I$ 与教室前墙 $E B^{'}$ 平行，若要使得开关门不受阻挡，则 $P I$ 与 $E B^{'}$ 的距离需大于多少？（结果保留两位小数）

(3)、如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后 $△ A B^{'} E$ 中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为 $35 c m$ 的圆柱形桶，能放得进去吗？请说明理由．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）

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3、我们约定：若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与直线y=a有交点，我们称函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 为“博学函数”，其交点为“博学点”：若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与直线y=-a有交点，我们称函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 为“慎思函数”，该交点为“慎思点”．

(1)、若函数 $y = 2 x^{2} - x + c$ 既是“博学函数”，也是“慎思函数”，求c的取值范围；

(2)、已知函数 $y = t x^{2} - t (t \neq 0)$ 的一个“慎思点”为P，直线 $y = m x + n (m \neq 0)$ 与抛物线 $y = t x^{2} - t (t \neq 0)$ 的两个交点分别为 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ ，且满足 $x_{1} + x_{2} = 2026$ ，直线 $P Q$ 是否经过一个定点，若经过定点，请求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由．

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4、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C是圆上一点，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，且 $D C = A D$ ．过点A作 $⊙ O$ 的切线，过点C作 $D A$ 的平行线，两直线交于点F， $F C$ 的延长线交 $A B$ 的延长线于点G．

(1)、求证： $F G$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、连接 $E F$ ，求 $t a n ∠ E F C$ 的值．

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5、某校举办校园科技节，小明入围编程决赛．决赛任务分为两轮，每轮从相应题库中随机抽取一项任务完成（每项任务抽到的可能性相同）．
第一轮任务库：A（图形绘制）、B（逻辑推理）、C（算法设计）；
第二轮任务库：D（代码调试）、E（模块搭建）、F（路径规划）．
根据规则，解答下列问题：

(1)、“小明在第一轮抽到D（代码调试）”是事件；（填“必然”“随机”或“不可能”）

(2)、请用画树状图或列表的方法表示小明抽取的两轮任务所有可能出现的结果，并求出他两轮抽取的任务均为逻辑与规划类任务（逻辑推理、算法设计、路径规划）的概率．

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6、先化简 $\frac{x^{2} - 8 x + 16}{x^{2} - 9} \div (1 - \frac{1}{x - 3})$ 再从2、3、4三个数中，选一个使原式有意义的数代入求值．

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7、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点E、D分别在边 $B C 、 A B$ 上，且 $∠ A E D = 60 °$ ．求证： $△ A E C ∽ △ E D B$ ．

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8、如图所示的三视图为一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为．

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9、如图， $△ A B C$ 的顶点是正方形网格的格点，则 $s i n A$ 的值为

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10、函数 $y = \frac{\sqrt{2 x - 3}}{x - 1}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是．

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11、分解因式： $a x y^{2} - 4 a x =$ ．

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12、 2026“美加墨”世界杯中，加拿大的温哥华 $B C P l a c e$ 球场共承担7场比赛，预计7场比赛共接纳观众378000人，将378000用科学记数法表示为．

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13、如图，在边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ．点 $E$ 在线段 $O A$ 上，连接 $B E$ ，作 $C F ⊥ B E$ 于点 $F$ ，交 $O B$ 于点 $P$ ．给出下面四个结论：
① $∠ O C P = ∠ O B E$ ；② $O E = O P$ ；③当 $C E = C B$ 时， $B P = E F$ ；④点 $A$ 与点 $F$ 之间的距离的最小值为 $\sqrt{5} - 1$ ．上述结论中，正确结论的序号有（）

A、①②④ B、①②③ C、②③④ D、①③④

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14、如图，在 $Rt△ABC$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 5$ ， $B C = 12$ ， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，连接 $O A$ ， $O B$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $\frac{3}{2} π$ D、 $\frac{5}{3} π$

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15、关于 $x$ 的方程 $(m - 2) x^{2} + 4 x + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 4$ B、 $m \leq 4$ C、 $m < 4$ 且 $m \neq 2$ D、 $m \leq 4$ 且 $m \neq 2$

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16、如图，在 $Rt△ABO$ 中， $A O = 2$ ， $∠ A O B = 60 °$ ，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点A，则k为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 2$ D、 $- \sqrt{3}$

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17、随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段 $A B ， C E ， D E$ 分别为前叉、下管和立管（点C在 $A B$ 上），EF为后下叉，已知 $A B ∥ D E$ ， $A D ∥ E F$ ， $∠ B C E = 67 °$ ， $∠ C E F = 133 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $123 °$ B、 $114 °$ C、 $113 °$ D、 $106 °$

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18、对于抛物线 $y = 7 {(x - 2)}^{2} - 1$ ，下列说法正确的是（）

A、可由抛物线 $y = 7 x^{2} - 1$ 向左平移2个单位长度得到 B、当 $x > 2$ 时，y随x的增大而增大 C、与y轴无交点 D、顶点坐标是 $(- 2, - 1)$

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19、在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ， $A D : D B = 1 : 2$ ，则 $△ A D E$ 的面积： $△ B C D$ 的面积 $=$ （）

A、 $1 : 6$ B、 $1 : 4$ C、 $2 : 3$ D、 $1 : 3$

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20、如图，在平面直角坐标系中，4(0，a)，C(c，0)，且 $\sqrt{a - 4}$ +(c-8)²=0，过A，C两点分别作x 轴，y 轴的平行线交于B点.

(1)、请直接写出点A 和点C的坐标.

(2)、 P，Q 为两动点，P，Q 同时出发，其中点P 从B 点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着B→C→0 运动到达O点时停止运动：点Q 从 C 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿巷线段CO向O点运动，到达O点时停止运动；设运动时间为t，问：当点P 在线段CO 上时，t 取何值时，三角形PQB的面积为2?

(3)、如图，连接AC，点D(m，1)在线段A上，点F在y 轴负半轴上，连接DF 交x 轴于B 点，记三角形DCE的面积为S₁ ，记三角形EOF的面积为S₂ ，若S=S₂ ，直接写出F 点的坐标为.

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