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1、先观察下列等式，再回答下面的问题：
① $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}}$ ＝1＋ $\frac{1}{1}$ － $\frac{1}{1 + 1}$ ＝ $1 \frac{1}{2}$ ；
② $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}}$ ＝1＋ $\frac{1}{2}$ － $\frac{1}{2 + 1}$ ＝ $1 \frac{1}{6}$ ；
③ $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}}$ ＝1＋ $\frac{1}{3}$ － $\frac{1}{3 + 1}$ ＝ $1 \frac{1}{12}$ ．

(1)、请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}}$ 的结果，并验证；

(2)、请你按照上面各等式中反映的规律，直接写出用n（n为正整数）的式子表示的等式．

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2、求下列各式中x的值：

(1)、4 $x^{2}$ －25＝0；

(2)、8 ${(x - 2)}^{3}$ ＝－ $\frac{125}{8}$ ．

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3、有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为－512时，输出的y的值为（）．

A、－2 B、－ $\sqrt{2}$ C、－ $\sqrt[3]{3}$ D、－ $\sqrt[3]{2}$

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4、将下列各数填入相应的集合内．
－7，0.32， $\frac{1}{3}$ ， 0， $\sqrt{11}$ ，－ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ ， $\sqrt[3]{125}$ ， π，0.404 004 000 4…（相邻的两个4之间依次多一个0）．
有理数集合：{                                               …}；
无理数集合：{                                               …}；
负实数集合：{                                               …}.

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5、 $\sqrt[3]{8}$ 的平方根是（）．

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、－2 D、± $\sqrt{2}$

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6、已知 $\frac{\sqrt{3 a - b} + |a^{2} - 49|}{\sqrt{a + 7}}$ ＝0，求实数a ， b的值，并求出 $\sqrt{b}$ 的整数部分和小数部分．

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7、若x ， y为实数，且|x＋3|＋ $\sqrt{3 - y}$ ＝0，则 ${(\frac{y}{x})}^{2 025}$ 的值为（）

A、1 B、2 025 C、－1 D、－2 025

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8、计算下列各题：

(1)、|1－ $\sqrt{2}$ |＋| $\sqrt{2}$ － $\sqrt{3}$ |＋| $\sqrt{3}$ －2|＋|2－ $\sqrt{5}$ |；

(2)、 ${(- 2)}^{3}$ × $\sqrt{{(- 4)}^{2}}$ ＋ $\sqrt[3]{{(- 4)}^{3}}$ × ${(- \frac{1}{2})}^{2}$ － $\sqrt[3]{27}$ ；

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9、下列四种说法：
①负数的平方根仍是负数；
②1的平方根与立方根都是1；
③4的平方根的立方根是 $\sqrt[3]{2}$ ；
④互为相反数的两个数的立方根仍互为相反数．
其中正确说法的个数是（）．

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、下列实数中，无理数是（）．

A、 $\sqrt{25}$ B、π＋5 C、0 D、 $\frac{1}{7}$

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11、如图，将长方形分成四个区域，其中A ， B两正方形区域的面积分别是3和9.

(1)、A ， B两正方形的边长各是多少？

(2)、求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414 ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ）.

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12、已知x、y都是实数，且 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} - 4$ ，求 $y^{x}$ 的平方根

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13、对实数 $a$ ， $b$ ，定义运算 $a * b = \{\begin{matrix} a^{2} b (a \geq b) \\ a b^{2} (a < b) \end{matrix}$ ．已知 $3 * m = 36$ ，则 $m$ 的值为（）

A、4 B、 $\pm 2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4或 $\pm 2 \sqrt{3}$

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14、观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：
$(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，
$(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，
$(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3}) = 1$ ，
$(\sqrt{5} + \sqrt{4}) (\sqrt{5} - \sqrt{4}) = 1$ ，
…

(1)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}) (\sqrt{2025} + 1)$ ；

(2)、试比较 $\sqrt{11} - \sqrt{10}$ 与 $\sqrt{12} - \sqrt{11}$ 的大小．

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15、计算

(1)、 $\sqrt{16} + \sqrt[3]{- 27} — 32 - |\sqrt{3} - 2|$

(2)、 ${(- 2)}^{2} + \sqrt[3]{- 8} - \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} + \frac{1}{5} \times (- 5)$

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16、请将下列实数写在数轴上的对应点下方，并把它们按从小到大的顺序排列，用“ $<$ ”连接．
$0 . \dot{6}, - \sqrt{6}, - \sqrt{2}, \frac{5}{2}, 0$ ．

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17、有下列各数：① $\frac{1}{7}$ ；② $- |- \frac{1}{3}|$ ；③ $\sqrt{5}$ ；④0；⑤ $- 0.3$ ；⑥ $- \sqrt{25}$ ；⑦ $0.3131131113 \cdot \cdot \cdot$ （每两个3之间依次多一个1）．

(1)、属于整数的有．（填序号）

(2)、属于负分数的有．（填序号）

(3)、属于无理数的有．（填序号）

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18、把下列各数分别填入所属的集合中：
① $\sqrt{3}$ ；② $- |- 2|$ ；③ $\sqrt{25}$ ；④0；⑤ $- \frac{1}{7}$ ；⑥ $\sqrt[3]{- 64}$ ；⑦ $0.3 \overset{\cdot}{4}$ ；⑧ $- 1.1010010001 \dots$ ；⑨ $\frac{π}{2}$
有理数：{…}；
无理数：{…}；
正实数：{…}；
负实数：{…}．

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19、如图，若数轴上点 $P$ 表示的数为无理数，则该无理数可能是（）

A、 $2 . \dot{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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20、【发现】
① $\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{- 8} = 2 + (- 2) = 0$ ；
② $\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{- 1} = 1 + (- 1) = 0$ ；
③ $\sqrt[3]{1000} + \sqrt[3]{- 1000} = 10 + (- 10) = 0$ ；
④ $\sqrt[3]{\frac{1}{64}} + \sqrt[3]{- \frac{1}{64}} = \frac{1}{4} + (- \frac{1}{4}) = 0$ ；
……；

(1)、根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：
．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a ， b ，若 $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 0$ ，则 $a + b = 0$ ；

(2)、【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
若 $\sqrt[3]{3 a^{2} - 8}$ 与 $\sqrt[3]{6 - 2 b}$ 的值互为相反数，且 $10 a^{2} - 6 b = 16$ ，求a的值．

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