相关试卷

1、如图1，点E是正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上一点，以 $A E$ 为对称轴将 $△ A B E$ 对折得到 $△ A F E$ ，再将 $A D$ 与 $A F$ 重合折叠，折痕与 $B F$ 的延长线交于点 $H$ ， $B H$ 与 $A E$ 交于点 $G$ ，连接 $D H$ ， $C H$ ．

(1)、设 $B H$ 与 $C D$ 交于点 $I$ ，证明： $△ A B E ≌ △ B C I$ ；

(2)、探索 $A H$ ， $C H$ 和 $D H$ 之间的数量关系，并加以证明；

(3)、如图2，若正方形边长为4，点E在射线 $B C$ 上运动，当 $E C = \frac{1}{4} B C$ 时，请直接写出 $△ A D H$ 的面积的值．

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2、成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4} (x \geq 0)$ 的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段 $B D$ 上一动点，分别过B、D作 $A B ⊥ B D$ ， $E D ⊥ B D$ ．连接 $A C$ 、 $E C$ ．已知 $A B = 1$ ， $D E = 2$ ， $B D = 4$ ．设 $B C = x$ ，则 $A C = \sqrt{x^{2} + 1}$ ， $C E = \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4}$ ，则问题转化成求 $A C + C E$ 的最小值．
【探究发现】
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时， $A C + C E$ 的值最小，于是可求得 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4} (x \geq 0)$ 的最小值等于______．
（2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9} (x \geq 0)$ 的最小值．
【拓展迁移】
（3）请你用构图的方法试求 $\sqrt{{(4 + x)}^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + 1} (x \geq 0)$ 的最大值．

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3、阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1 ， (\sqrt{6} + \sqrt{3}) (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = 3$ ，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如 $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{(2 - \sqrt{2}) \times (2 + \sqrt{2})} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化．
解决问题：

(1)、将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 分母有理化得_______， $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$ 分母有理化得______．

(2)、 $x = \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} ， y = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2}$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值；

(3)、利用上述方法，化简 $\frac{3}{1 + \sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{3}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ ．

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 为斜边 $A B$ 上的一点，连接 $C D$ ，将 $△ B C D$ 沿 $C D$ 翻折，使点 $B$ 落在点 $E$ 处，点 $F$ 为直角边 $A C$ 上一点，连接 $D F$ ，将 $△ A D F$ 沿 $D F$ 翻折，点 $A$ 恰好与点 $E$ 重合．若 $D C = 5$ ，则折痕 $D F$ 为．

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5、如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为．

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6、（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 $\sqrt{a^{2}} - |a + b| - \sqrt[3]{{(b - c)}^{3}}$ ．
（2）如果 $\sqrt{7}$ 的小数部分为a， $\sqrt{13}$ 的整数部分为b，求 $a + b - \sqrt{7}$ 的值．

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7、解方程

(1)、 $4 x^{2} - 1 = 24$ ；

(2)、 $\frac{1}{3} {(x - 1)}^{3} = 9$ ．

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8、计算

(1)、 $\sqrt{18} - {(\sqrt{2} + 1)}^{2} + (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$ ；

(2)、 $\sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt[3]{- 8} + |1 - \sqrt{2}| + \sqrt{2} (\sqrt{2} - 1)$ ；

(3)、 ${(π - 1)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + |5 - \sqrt{27}| - \sqrt{64}$ ；

(4)、 $- 1^{2025} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(3.14 - π)}^{0} - |- 2|$ ．

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9、如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点 $A ， B ， P$ 是网格线的交点，则 $∠ A P B =$ $°$ ．

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10、 $\sqrt{49}$ 的平方根是； $- \frac{1}{64}$ 的立方根是．

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11、如图在 $4 \times 4$ 的网格中，每个小正方形的边长均为1，则 $B$ 到直线 $A C$ 的距离为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$

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12、下列运算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{5} + \sqrt{2} = \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{25} = \pm 5$ C、 $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = - 5$ D、 $\sqrt{5} \times \sqrt{2} = \sqrt{10}$

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13、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{11}$ B、 $\sqrt{0.1}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ D、 $\sqrt{27}$

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14、如图，已知等腰 $△ A B P$ 中， $A P = B P$ ， $∠ P < 90 °$ ， $B D ⊥ A P$ 交 $A P$ 于点 $D$ ， $A C$ 平分 $∠ B A P$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ，与 $B P$ 交于点 $C$ ．

(1)、当 $∠ P = 40 °$ 时，求 $∠ B E C$ 的度数；

(2)、猜想 $∠ P$ 与 $∠ B E C$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、当 $△ B E C$ 是等腰三角形时，求 $∠ P$ 的度数．

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15、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设 $∠ B A C =$ $θ$ $(0 < θ < 90 °)$ ．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别在射线 $A B$ 、 $A C$ 上．
活动一：如图1所示，从点 $A_{1}$ 开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直， $A_{1} A_{2}$ 为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：               ；（填“能”或“不能”）
（2）设 $A A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ ， $θ =$                °．
活动二：如图2所示，从点 $A_{1}$ 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 $A_{1} A_{2}$ 为第1根小棒，且 $A_{1} A_{2} = A A_{1}$ ．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则 $θ_{3} =$                ；（用含 $θ$ 的式子表示）
（4）若 $θ = 10 °$ ，则最多能放               根小棒．

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16、如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $A E = C E$ ， $A D$ 与 $C E$ 相交于点 $F$ ．

(1)、 $△ A E F$ 与 $△ C E B$ 全等吗？请说明理由；

(2)、若 $A F = 6$ ，求 $C D$ 的长．

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17、‍ 如图，在等腰锐角 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $C D$ 为 $A B$ 边上的高线， $E$ 为 $A C$ 边上的点，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，设 $∠ B C D = α$ ．

(1)、用含 $α$ 的代数式表示 $∠ A$ ；

(2)、若 $C E = C F$ ，求 $∠ E B C$ 的度数．

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18、已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠A＝∠E，
（1）求证：△ABC≌△EDF；
（2）当∠CHD＝120°，求∠HBD的度数．

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19、如图，已知在正方形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D = A D = 10 cm$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上，且 $A E = 4 cm$ ，如果点 $P$ 在线段 $B C$ 上以2厘米/秒的速度由 $B$ 点向 $C$ 点运动，同时，点 $Q$ 在线段 $C D$ 上由 $C$ 点向 $D$ 点运动，设运动时间为 $t$ 秒，当 $△ B P E$ 与 $△ C Q P$ 全等时， $t$ 的值为．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中，直线 $l$ 垂直平分 $A B$ 分别交 $C B$ 、 $A B$ 于点D，E，点F为直线 $l$ 上任意一点， $A C = 3$ ， $C B = 4$ ，则 $△ A C F$ 周长的最小值是．

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