相关试卷

1、如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么 $x$ 的值是（）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $85 °$

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2、阅读材料：对于形如 $x^{2} + 2 a x + a^{2}$ 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 ${(x + a)}^{2}$ 的形式．但对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 3 a^{2}$ ，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 3 a^{2}$ 中先加上一项 $a^{2}$ ，使它与 $x^{2} + 2 a x$ 成为一个完全平方式，再减去 $a^{2}$ ，整个式子的值不变，于是有：
$x^{2} + 2 a x - 3 a^{2} = (x^{2} + 2 a x + a^{2}) - a^{2} - 3 a^{2} = {(x + a)}^{2} - 4 a^{2} = {(x + a)}^{2} - {(2 a)}^{2} = (x + 3 a) (x - a)$
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：

(1)、因式分解： $x^{2} + 2 x - 3$ ；

(2)、若 $a^{2} + b^{2} - 12 a - 6 b + 45 = 0$ ，
①当 $a$ ， $b$ ， $n$ 满足条件： $2^{a} \times 4^{b} = 8^{n}$ 时，求 $n$ 的值；
②若 $△ A B C$ 三边长是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c$ 为偶数，求 $△ A B C$ 的周长．

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3、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点D，E分别在边 $A C, A B$ 上，且 $A D = B E, B D 、 C E$ 交于点P， $C F ⊥ B D$ ，垂足为点F．

(1)、求证： $B D = C E$ ；

(2)、若 $C P = 20$ ，求 $P F$ 的长．

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4、小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．

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5、甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别 $S_{1}, S_{2}$ ．

(1)、求 $S_{1} 、 S_{2}$ ，并比较 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小．（写出比较大小的过程）

(2)、若满足条件 $21 < n \leq |S_{1} - S_{2}|$ 的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？

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6、如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A （ 2 ， 3 ）$ ， $B （ 1 ， 0 ）$ ， $C （ 1 ， 2 ）$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中 $A_{1}$ 的坐标为______；

(2)、在y轴上画出点 $P$ ，使 $P A ＋ P B$ 最小（保留作图痕迹）．

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7、小颖和小红在化简 $(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2}}$ 的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式 $= [\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}] \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2}}$ …
小红：原式 $= \frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} + \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2}}$ …

(1)、小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______．
A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律

(2)、请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“ $- 4$ ， 1，4”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值．

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8、计算： $[{(x - 2 y)}^{2} + (x - 2 y) (x + 2 y) - 2 x (2 x - y)] \div 2 x$

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9、若等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm，则此等腰三角形的底边长是．

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10、若 $x + m$ 与 $- x + 2$ 的乘积中不含 $x$ 的一次项，则实数 $m$ 的值为．

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11、如图，△ABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，过D作DE⊥AC于点E，若AC＝10，CB＝4，则AE＝（　　）

A、2 B、3 C、6 D、7

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12、若关于x的方程 $\frac{x + m}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 3$ 有增根，则m的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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13、若关于x的二次三项式 $x^{2} + k x + b$ 因式分解为 $(x - 1) (x - 3)$ ，则 ${(k + b)}^{2025}$ 的值为（）

A、 $- 7$ B、7 C、 $- 1$ D、1

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14、下列定理中，没有逆定理的是（）

A、全等三角形的对应边相等 B、直角三角形的两锐角互余 C、等腰三角形的两个底角相等 D、全等三角形的对应角相等

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15、如图是一个计算程序，若输入 $a$ 的值为 $- 1$ ，则输出的结果应为．

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16、按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）

A、 $m = 1$ ， $n = 1$ B、 $m = 1$ ， $n = 0$ C、 $m = 2$ ， $n = 1$ D、 $m = 2$ ， $n = 2$

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17、一个正方体的展开图如图所示，则原正方体的“建”字所在的面的对面所标的字是（）

A、设 B、福 C、中 D、国

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18、综合与探究
在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F$ ，连接 $B E$ ， $C F$ ．
[发现问题]
如图1，若 $∠ B A C = 30 °$ ，延长 $B E$ 交 $C F$ 于点D，则 $B E$ 与 $C F$ 的数量关系是________； $∠ B D C$ 的度数为________；
[类比探究]
如图2，若 $∠ B A C = 120 °$ ，延长 $B E$ ， $F C$ 相交于点D，请猜想 $B E$ 与 $C F$ 的数量关系及 $∠ B D C$ 的度数，并说明理由．
[拓展延伸]
如图3，若 $∠ B A C = 90 °$ ，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作 $A M ⊥ B F$ ，垂足为点M，请直接写出 $B F$ ， $C F$ ， $A M$ 之间的数量关系．

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19、如图， $∠ A O B = 60 °$ ，点 $C$ 在 $O B$ 上．

(1)、作图，要求只保留作图痕迹，不用写作法．
①作 $∠ A O B$ 的角平分线 $O D$ ；
②作线段 $O C$ 的垂直平分线，交 $O C$ 于 $E$ ，交 $O D$ 于 $F$ ，交 $O A$ 于G．

(2)、在（1）作图的基础上，连接 $F C$ ，则 $F C$ 与 $F G$ 的数量关系是什么？请给出你的证明．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，且 $B E = 2$ ， $B C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $N$ ，点 $P$ 为直线 $M N$ 上一动点，点 $F$ 为边 $A B$ 上一动点，当 $P E + P F$ 的值最小时， $A F$ 的长为．

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