相关试卷

1、（1）分解因式： $a^{2} b - 4 a b + 4 b$
（2）解不等式组： $\{\begin{array}{l} \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1 \\ 5 x - 1 < 3 (x + 1) \end{array}$ ，并将解集表示在数轴上．

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2、分式 $\frac{3 y}{2 x - 3 y}$ 中的 $x$ ， $y$ 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（）

A、扩大为原来的2倍 B、不变 C、缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ D、扩大为原来的4倍

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3、在菱形 $A B C D$ 中， $B D = 6 ， A C = 8$

(1)、如图1，求 $A B$ 的长．

(2)、如图2，以点 $A$ 为旋转中心，逆时针转动 $△ A B C$ ，记点 $B$ ， $C$ 旋转得到的对应点分别为 $E$ ， $F$ ．当 $E F$ 第一次平行于 $B D$ 时，停止旋转．
$①$ 当 $E F ∥ B D$ 时，求 $sin ∠ B A E$ 的值．
$②$ 如图3，设旋转停止前，直线 $E F$ 交射线 $D B$ 于点 $P$ ，连接 $A P$ ，求 $D P - A P$ 的最小值．

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4、已知抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 12$ （ $a$ 为常数， $a \neq 0$ ）．

(1)、求该抛物线的对称轴．

(2)、若抛物线与 $x$ 轴的两个交点分别为点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在原点 $O$ 的左侧）， $O B = 3 O A$ ．
①求 $a$ 的值；
②设 $m < 2 < n$ ，抛物线的一段 $y = a x^{2} - 4 a x + 12 (m \leq x \leq n)$ 夹在两条均与 $x$ 轴平行的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间．若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的距离为9，求 $n - m$ 的最大值．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点O在边 $A B$ 上，以点O为圆心， $O B$ 长为半径的半圆，交 $B C$ 于点D，交 $A C$ 于点E， $O D ⊥ O E$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A B C = 60 °$ ， $O B = 2 \sqrt{3}$ ，求四边形 $O D C E$ 的面积．

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6、【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法．
例如求 $\sqrt{53}$ 的近似值．因为 $49 < 53 < 64$ ，所以 $7 < \sqrt{53} < 8$ ．
则 $\sqrt{53}$ 可以设成以下两种形式：
① $\sqrt{53} = 7 + m$ ，其中 $0 < m < 1$ ；
② $\sqrt{53} = 8 - n$ ，其中 $0 < n < 1$ ．
小明用①的形式求 $\sqrt{53}$ 的近似值的过程如下：
因为 $\sqrt{53} = 7 + m$ ，所以 $53 = {(7 + m)}^{2}$ ．即 $53 = 49 + 14 m + m^{2}$ ．
因为 $m^{2}$ 比较小，将 $m^{2}$ 忽略不计，
所以 $53 \approx 49 + 14 m$ ，即 $14 m \approx 53 - 49$ ，
得 $m \approx \frac{53 - 49}{14} = \frac{2}{7}$ ．所以 $\sqrt{53} \approx 7 + \frac{2}{7} \approx 7.29$ ．
【尝试探究】（1）用②的形式求 $\sqrt{53}$ 的近似值．（结果保留2位小数）
【比较分析】（2）用哪种形式求 $\sqrt{53}$ 的近似值的精确度更高？并说明理由．

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7、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $tan ∠ B A D = 1$ ， $D E$ 是 $△ A D C$ 的高线．

(1)、求 $cos C$ 的值．

(2)、求 $A E$ 的长．

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8、计算： $|- 3| + {(\sqrt[3]{27} - 1)}^{0} + \sqrt{16} - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ；

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9、如图，矩形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点B关于 $A C$ 的对称点E落在弧 $A D$ 上，连接 $E B$ ， $E C$ 分别交 $A D$ 于点F，G．若 $A F : F G = 1 : 3$ ，则 $tan ∠ E B C$ 的值为．

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10、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $A C = 2$ ， $B D = 4$ ．以点C为圆心， $B C$ 的长为半径作弧交 $A B$ 于点B，再分别以点B，E为圆心，大于 $\frac{1}{2} B E$ 的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线 $C M$ 交 $A B$ 于点F．记 $B F$ 长为x， $A B$ 长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A、 $x y$ B、 $x - y$ C、 $x^{2} + y^{2}$ D、 $x + y$

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11、已知点 $P (n, a)$ ， $Q (n + 3, b)$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，则下列说法正确的是（　　）

A、当 $n < - 3$ 时， $b < a < 0$ B、当 $- 3 < n < 0$ 时， $b < a < 0$ C、当 $- 3 < n < 0$ 时， $0 < a < b$ D、当 $n > 0$ 时， $0 < a < b$

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12、下列运算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ B、 ${(- 2 a^{3})}^{3} = - 6 a^{6}$ C、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$

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13、某阅览室的椅子如图所示，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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14、我国是最早认识和使用负数的国家．下列负数中，最小的是（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 3$ D、 $- π$

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15、如图，四边形 $A B C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ 、 $A B = 3$ 、 $B C = 4$ ，连接 $A C$ ，且 $A C = C D$ ．

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、若 $A D = 5 \sqrt{2}$ ，求 $B D$ 的长．

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16、观察与思考：
① $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ；② $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ；③ $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ ；…

(1)、根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；

(2)、试用含 $n$ （ $n$ 为自然数，且 $n > 1$ ）的等式表示这一规律，并加以验证．

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17、如图，在五边形 $A B C D E$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A E ⊥ D E$ ， $A B =1$ ， $B C =2$ ， $C D = 2 \sqrt{5}$ ， $D E = 3$ ， $A E = 4$ ，连接 $A C$ 、 $A D$ ．

(1)、求 $A C$ 和 $A D$ 的长；

(2)、求五边形 $A B C D E$ 的面积．

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18、已知 $x = 2 - \sqrt{3}$ ， $y = 2 + \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $x^{2} + x y + y^{2}$ 的值；

(2)、若 $x$ 的小数部分是 $m, y$ 的小数部分是 $n$ ，求 $m n$ 的值．

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19、已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $a ， b$ 为直角边， $c$ 为斜边．

(1)、若 $a = 1 ， b = 2$ ，求 $c$ ；

(2)、若 $a = 4 ， c = 5$ ，求 $b$ ．

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20、计算：

(1)、 $\sqrt{24} - \frac{1}{2} \sqrt{3} + 2 \sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{1}{6} \sqrt{12}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} + 3) (\sqrt{5} - 3) - {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ ．

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