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1、综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题，所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心．

(1)、尺规作图：在图1中作点 $A$ 关于直线 $M N$ 的对称点 $A_{1}$ ，连接 $B A_{1}$ 交 $M N$ 于点 $C$ （不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔作图，再用黑色墨水笔描画清楚）；

(2)、在（1）中 $M N$ 上任意找点 $Q$ （异于点 $C$ ），连接 $Q A$ ， $Q B$ ， $C A$ ， $C B$ ，说明 $C A + C B \leq Q A + Q B$ ；

(3)、如图2，已知点 $D (0 ， 1)$ ， $E (5 ， 4)$ ，点 $F$ 在 $x$ 轴上，且 $F D + F E$ 的值最小，求 $∠ D F E$ 的值．

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2、问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图 $1$ ，图 $2$ 是用边长分别为 $a$ ， $b$ 的两个正方形和边长为 $a$ ， $b$ 的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图 $1$ ______；图 $2$ ______；（用字母 $a$ ， $b$ 表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题：
（1）已知 $a + b = 5$ ， $a b = 3$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；
（2）已知 $(2026 - x) (2024 - x) = 2025$ ，求 ${(2026 - x)}^{2} + {(2024 - x)}^{2}$ 的值．

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3、（1）解分式方程： $\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x - 1}$ ．
（2）解分式方程： $\frac{x + 1}{4 x - 4} = \frac{2}{3 x - 3} - 1$ ．

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4、计算：

(1)、 $(8 x^{4} - 6 x^{3}) \div 2 x^{2}$

(2)、 ${(2 x + y)}^{2} + (2 x + y) (2 x - y)$

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5、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C = 6 cm$ ， $A B = 8 cm$ ， $∠ D A B = ∠ A B C$ ，点 $E$ 在线段 $A B$ 上由点 $A$ 向点 $B$ 运动，同时点 $F$ 在线段 $B C$ 上由点 $B$ 向点 $C$ 运动．当△ $A D E$ 与△ $B E F$ 全等时， $A E =$ $cm$ ．

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6、如图，上午8时，一条船从海岛 $A$ 出发，以30海里 $/$ 时的速度向正北航行，上午10时到达海岛 $B$ 处．分别从 $A$ ， $B$ 望灯塔 $C$ ，测得 $∠ N A C = 30 °$ ， $∠ N B C = 60 °$ ．若该船继续向正北航行，当该船与灯塔 $C$ 的距离最短时，则该船行驶了小时．

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7、下列分式变形从左到右一定成立的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{a - 1}{b - 1}$ B、 $\frac{2 a}{b} = \frac{0.2 a}{b}$ C、 $\frac{3 a}{6 a^{2}} = \frac{1}{2 a}$ D、 $\frac{a}{b} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$

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8、如图，点 $A$ ， $B$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上， $A C ∥ D F$ ， $B C ∥ E F$ ，使得 $△ A C B ≌ △ D F E$ ．可添加条件是（）

A、 $A C = E F$ B、 $∠ A = ∠ B$ C、 $∠ C = ∠ F$ D、 $A B = D E$

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9、两整式相乘的结果为 $a^{2} - a - 12$ 的是（）

A、 $(a + 3) (a - 4)$ B、 $(a - 3) (a + 4)$ C、 $(a + 6) (a - 2)$ D、 $(a - 6) (a + 2)$

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10、下列式子从左到右的变形．属于因式分解的是（）

A、 $x (x - 2) = x^{2} - 2 x$ B、 $x^{2} - 2 x + 2 = {(x - 1)}^{2} + 1$ C、 $x^{2} + 6 x + 9 = {(x + 3)}^{2}$ D、 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$

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11、若 $x^{2} + 10 x + k$ 是一个完全平方式，则 $k$ 的值是（）

A、100 B、25 C、20 D、10

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12、中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1， $△ A B C$ 中，若 $A B = 8, A C = 6$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 到点E，使 $D E = A D$ ，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到 $△ A D C ≌ △ E D B$ 的理由是______．
$A . SSS$               $B . AAS$               $C . SAS$               $D . HL$
（2）求得 $A D$ 的取值范围是       ．
$A .6 < A D < 8$               $B .6 \leq A D \leq 8$               $C .1 < A D < 7$               $D .1 \leq A D \leq 7$
【问题解决】
（3）如图2， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $B E$ 交 $A C$ 于E，交 $A D$ 于F，且 $A E = E F$ ．求证： $A C = B F$ ．

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14、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ ， $E$ 为 $B C$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ D E$ 交 $C B$ 的延长线于点 $F$ ．已知 $D F = D C$ ，求证： $C F = 3 B E$ ．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ ， $B E$ 是 $△ A B C$ 的两条高，且相交于点 $F$ ， $C D = D F$ ．求证： $A C = B F$ ．

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16、如图， $A B = C D$ ， $A D = B C$ ， $A D$ 和 $B C$ 交于点 $O$ ．求证： $∠ B = ∠ D$ ．

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17、如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，点 $A$ 的坐标为 $(- 3, 2)$ ．请按要求分别完成下列各题：

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、写出 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 三点的坐标．

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18、已知：如图， $O$ 分别是 $A B ， C D$ 的中点， $A B ， C D$ 相交于点 $O$ ．求证： $△ A O C ≌ △ B O D$ ．

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19、如图，两个班的学生分别在 $M$ 、 $N$ 两处参加植树劳动，现要在道路 $A B$ 、 $A C$ 的交叉区域内（角 $B A C$ 内部）设一个茶水供应点 $P$ ，使 $P$ 到两条道路的距离相等，且使 $P M = P N$ ，请你通过尺规作图找出这一 $P$ 点， $($ 不写作法，保留作图痕迹 $)$

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20、如图， $A C = A D$ ，只需添加一个条件即可证明 $△ A B C ≌ △ A B D$ ．这个条件可以是．（写出一个即可）

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