相关试卷

1、空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是．

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2、在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A + ∠ B = ∠ C$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、无法判定

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3、一个三角形的两个内角分别是 $50 °$ 和 $60 °$ ，则第三个内角的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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4、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A、3，4，5 B、3，4，7 C、3，4，9 D、3，4，11

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5、如图 $1$ ，在平面直角坐标系中，等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C A = C B$ ，点 $B 在 x$ 轴正半轴上，点 $C 在 y$ 轴正半轴上，其中 $B (b, 0) 、 C (0, c)$ ，斜边 $A B 交 y$ 轴于点 $D$ ．

(1)、若 $b - c = 1 ， b^{2} - c^{2} = 3$ ，直接写出点 $B$ 的坐标为，点 $C$ 的坐标为，点 $A$ 的坐标为．

(2)、如图 $2$ ，已知 $A E ⊥ A B 交 x$ 轴负半轴于点 $E$ ，连接 $C E ， C F ⊥ C E ， C E 交 A B$ 于点 $F$ 、求证：点 $F 到 y$ 轴的距离等于 $c$ ；

(3)、在 $(2)$ 的条件下，若点 $A$ 在第三象限的角平分线上，记 $△ E A B$ 的面积为 $S_{1} ， △ C D F$ 的面积为 $S_{2} ， O E$ 的长度为 $a$ ．
$①$ 求证：点 $D$ 是线段 $A F$ 的中点；
$②$ 猜想一下， $S_{1} 与 S_{2}$ 有怎样的数量关系，先给出结论再写出理由 $. ($ 提示：尝试用 $a ， b ， c$ 去表示 $S_{1} 与 S_{2})$

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6、“读有益之书，做有益之事，成有益之人”，我们不妨约定：如果一个整数能表示成两个整数的平方差形式 $($ 即可以写成 $a^{2} - b^{2}$ 的形式其中 $a 、 b$ 是整数 $)$ ，则称这个数为“有益数” $.$ 例如， $3$ 是“有益数”，理由：因为 $3 = 2^{2} - 1^{2}$ ，所以 $3$ 是“有益数”．

(1)、按要求填空．
$①$ 已知 $20$ 是“有益数”，请将它写成 $a^{2} - b^{2} (a 、 b$ 是整数 $)$ 的形式； $($ 写一种即可 $)$
$②$ 整式 $x^{2} - 6 x - 7$ 可表示成 $(x - m)^{2} - n^{2} (m 、 n$ 为常数且 $n > 0)$ ，则 $m n$ 的值是；
$③$ 请判断 $122$ 是否为“有益数”，； $($ 填“是”或“否” $)$

(2)、已知 $Y = x^{2} - 2 x y - 3 y^{2} - 12 y + t (x 、 y$ 是整数， $t$ 是常数 $)$ ，要使 $Y$ 为“有益数”，试求出符合条件的一个 $t$ 值，并说明理由．

(3)、已知 $x_{1}$ 是关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x + k = 0$ 的解， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $(k - 2) x + k - 1 = 0$ 的解 $($ 其中 $k$ 是常数 $)$ ，求“有益数” $Y = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} (x_{1}, x_{2}$ 是整数 $)$ 的值．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D 是 B C$ 边上的中线， $∠ B A D = ∠ C A D ， C E ∥ A D ， C E 交 B A$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、若 $∠ B A C = 120 ° ， A C = 5$ ，求 $C E$ 的长；

(2)、求证： $△ A B C$ 为等腰三角形．

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8、“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进 $7$ 个甲型头盔和 $6$ 个乙型头盔需要 $600$ 元，购进 $5$ 个甲型头盔和 $8$ 个乙型头盔需要 $670$ 元．

(1)、购进 $1$ 个甲型头盔和 $1$ 个乙型头盔分别需要多少元？

(2)、若该商场准备购进 $200$ 个这两种型号的头盔，总费用不超过 $10200$ 元，以甲型头盔 $58 元 /$ 个、乙型头盔 $98 元 /$ 个的价格销售完，要使总利润不少于 $6190$ 元，有多少种进货方案？

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9、阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记为识 $i^{2} = - 1$ ，这个数 $i$ 叫做虚数单位 $.$ 那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 $a + b i (a, b$ 为实数 $) ， a$ 叫这个复数的实部 $. b$ 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算： $(2 + i) + (3 - 4 i) = 5 - 3 i$ ．

(1)、填空： $i^{3} =$ ， $i^{4} =$ ；

(2)、计算： $① (3 + i) (3 - i) ； ② (3 + i)^{2}$ ；

(3)、若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： $(x - y) + 5 i = (1 - x) - y i (x, y$ 为实数 $)$ ，求 $x ， y$ 的值．

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10、如图 $2$ ，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线 $B D$ 上，转轴 $B$ 到地面的距离 $B D = 2.5 m .$ 乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点 $A$ 时，过点 $A 作 A C ⊥ B D 于 C$ ，点 $A$ 到地面的距离 $A E = 1.5 m (A E = C D)$ ，当他从 $A$ 处摆动到 $A'$ 处时， $A' B = A B$ ，若 $A' B ⊥ A B$ ，作 $A' F ⊥ B D$ ，垂足为 $F . 求 A' 到 B D$ 的距离 $A' F$ ．

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11、下面是多媒体上的一道习题：

如图 $A D 是 △ A B C$ 的中线， $A B = 4 ， A C = 3$ ，求 $A D$ 的取值范围．

请将下面的解题过程补充完整．

解：延长 $A D$ 至点 $E$ ，使 $E D = A D$ ，连接 $B E$ ．

$∵ A D 是 △ A B C$ 的中线，

$∴ C D =$ ，

在 $△ A C D 和 △ E B D$ 中，

$\{\begin{array}{l} A D = D E \\ ∠ A D C = ∠ B D E \\ C D = B D \end{array}$ ，

$∴ △ A C D ≌ △ E B D ($ $)$ ，

$∴ B E = A C = 3$ ，

在 $△ A B E$ 中，根据“三角形三边关系”可知： $< A E <$ ，

又 $∵ A E = 2 A D$ ，

$∴$ $< A D <$ ．

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12、把下列各式因式分解： $($ 分解要彻底 $)$

(1)、 $x y^{2} - 2 x y + x$ ；

(2)、 $(y^{2} + 4)^{2} - 16 y^{2}$ ．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 40 ° ， ∠ C = 50 ° .$ 通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 $∠ D A E =$ 度 $.$

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14、如图，已知 $O B = O C$ ，若以“ $S A S$ ”为依据证明 $△ A O B ≌ △ D O C$ ，还需要添加的条件是．

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15、若 $(x - 2) (x + 5) = x^{2} + m x + n$ ，则 $m$ 的值为．

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16、如图，木工师傅做窗框时，常常如图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是( )

A、三角形的稳定性 B、两点之间线段最短 C、长方形的轴对称性 D、两直线平行，同位角相等

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17、小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是( )

A、 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b) (a + b)$ B、 $a^{2} + 3 a b + 2 b^{2} = (a + 2 b) (a + b)$ C、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ D、 $2 a^{2} + 3 a b + b^{2} = (2 a + b) (a + b)$

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18、已知点 $P (a - 1,3)$ 和点 $M (2, b - 1)$ 关于 $x$ 轴对称，则 $(a + b)^{2025}$ 的值是( )

A、 $0$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $(- 3)^{2025}$

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19、如图 $1$ 所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形 $A B C ($ 如图 $2)$ ，若 $∠ B = 50 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为( )

A、 $80 °$ B、 $75 °$ C、 $50 °$ D、 $100 °$

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20、下列计算正确的是( )

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{4}$ B、 $(a^{2})^{3} = a^{4}$ C、 $2 a \cdot 3 a = 5 a^{2}$ D、 $2 a + 3 a = 5 a$

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