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1、小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 2 x + 3$ ，由于 $x^{2} - 2 x + 3 = (x - 1)^{2} + 2$ ，所以当 $x - 1 = 0$ 时，多项式 $x^{2} - 2 x + 3$ 有最小值；多项式 $- x^{2} - 2 x + 3$ ，由于 $- x^{2} - 2 x + 3 = - (x + 1)^{2} + 4$ ，所以当 $x + 1 = 0$ 时，多项式 $- x^{2} - 2 x + 3$ 有最大值．于是小慧给出一个定义：关于 $x$ 的二次多项式，当 $x - t = 0$ 时，该多项式有最值，就称该多项式关于 $x = t$ 对称．例如 $x^{2} - 2 x + 3$ 关于 $x = 1$ 对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：

(1)、多项式 $x^{2} + 6 x + 5$ 关于 $x =$ 对称；

(2)、若关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 2 a x + 4$ 关于 $x = 4$ 对称，则 $a =$ .

(3)、关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + a x + c$ 关于 $x = - 1$ 对称，且最小值为3，求方程 $x^{2} + a x + c = 7$ 的解．

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2、

(1)、若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} = b (a b > 0)$ 的两个根分别是 $m + 1$ 与 $2 m - 4$ ，则 $m =$ ．

(2)、若关于 $x$ 的方程 $a (x + m)^{2} + b = 0 (a ， b ， m$ 均为常数，且 $a \neq 0)$ 的两个根是 $x_{1} = 3$ 和 $x_{2} = 7$ ，则方程 $a (2 x + m - 1)^{2} + b = 0$ 的根是．

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3、已知关于 $x$ 的方程 $a (x - 1) (x - m) = 0$ 与 $a (x - n)^{2} = b$ 有相同的解，则 $m$ 与 $n$ 之间的等量关系为（　　）

A、 $m + n = 1$ B、 $m - n = 1$ C、 $m + 2 n = - 1$ D、 $m - 2 n = - 1$

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4、根据下列问题，列出关于 $x$ 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

(1)、一个长方形的长比宽多 2 ，其面积是 100 ，求长方形的长 $x$ ．

(2)、直角三角形的两条直角边长相差 5 ，面积是 7 ，求较长的直角边长 $x$ ．

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5、若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + 6 x - 4 = 0$ 的解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ ，则关于 $y$ 的一元二次方程 $a {(y + 1)}^{2} + 6 (y + 1) - 4 = 0$ 的解为.

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6、若一元二次方程 $a x^{2} + b x - 2016 = 0$ 有一根为 $x = - 1$ ，则 $a - b$ 的值为．

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7、设实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x + y + z = 1$ ，则 $M = x y + 2 y z + 3 z x$ 的最大值为．

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8、已知 $5 a^{2} + 9 + b^{2} + 2 a b = 12 a$ ，则 $a b$ 的值为．

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9、已知关于 $x$ 的多项式 $a x^{2} - 2 b x + c (a \neq 0)$ ，当 $x = a$ 时，该多项式的值为 $c - a$ ，则多项式 $a^{2} + b^{2} + 3$ 的值可以是（　　）

A、3.5 B、3.25 C、3 D、2.75

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10、配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．

(1)、解决问题：
若 $x^{2} - 4 x + 3$ 可配方成 ${(x - m)}^{2} + n$ （m、n为常数），则 $m n =$ ；

(2)、探究问题：
已知 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 10 = 0$ ，求 $x + y$ 的值；

(3)、已知 $S = x^{2} + 9 y^{2} + 4 x - 12 y + k$ （x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为3，试求出k的值．

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11、我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为 $5 = 2^{2} + 1^{2}$ ，所以5是“完美数”．

(1)、【解决问题】
已知29是“完美数”，请将它写成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式；

(2)、若 $x^{2} - 6 x + 5$ 可配方成 ${(x - m)}^{2} + n$ （ $m$ 、 $n$ 为常数），则 $m n =$ ；

(3)、【探究问题】
已知 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 5 = 0$ ，则 $x + y =$ ；

(4)、已知 $S = x^{2} + 4 y^{2} + 4 x - 12 y + k$ （ $x$ 、 $y$ 是整数， $k$ 是常数），要使 $S$ 为“完美数”，试求出符合条件的一个 $k$ 值，并说明理由．

(5)、【拓展结论】
已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $y = x^{2} + x + 2$ ，求 $x + y$ 的最小值．

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12、新定义：关于 $x$ 的一元二次方程 $a_{1} {(x - c)}^{2} + k = 0$ 与 $a_{2} {(x - c)}^{2} + k = 0$ 称为“同族二次方程”．例如： $5 {(x - 6)}^{2} + 7 = 0$ 与 $6 {(x - 6)}^{2} + 7 = 0$ 是“同族二次方程”，现有关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 2) x^{2} + (n - 4) x + 8 = 0$ 与 $2 {(x - 1)}^{2} + 1 = 0$ 是“同族二次方程”，则代数式的 $m x^{2} + n x + 2029$ 最小值是．

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13、若 $x$ 为任意实数，且 $M = (7 - x) (3 - x) (4 - x^{2})$ ，则 $M$ 的最大值为（　　）

A、10 B、84 C、100 D、121

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14、对于五个整式， $A$ ： $2 x^{2}$ ； $B$ ： $x + 1$ ； $C$ ： $- 2 x$ ； $D$ ： $y^{2}$ ； $E$ ： $2 x - y$ 有以下几个结论： $①$ 若 $y$ 为正整数，则多项式 $B \cdot C + A + D + E$ 的值一定是正数； $②$ 存在实数 $x$ ， $y$ ，使得 $A + D + 2 E$ 的值为 $- 3$ ； $③$ 若关于 $x$ 的多项式 $M = 3 (A - B) + m \cdot B \cdot C (m$ 为常数 $)$ 不含 $x$ 的一次项，则该多项式 $M$ 的值一定不小于 $- 3$ ； $④$ 若 $2 A - D = E (4 B + C)$ ，则 $y = 4 .$ 上述结论中，正确的个数是（　　）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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15、若 $P = a - 2 ， Q = a^{2} + 3 a$ ( $a$ 为实数)，则 $P ， Q$ 的大小关系为 $P$ Q． (填“>” “ $<$ ”或 $“ = ”)$

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16、阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
$a^{2} + 2 a - 4 = a^{2} + 2 a + 1 - 1 - 4 = {(a + 1)}^{2} - 5$
∵ ${(a + 1)}^{2} \geq 0$ ，
∴ $a^{2} + 2 a - 4 = {(a + 1)}^{2} - 5 \geq - 5$ ，
因此，代数式 $a^{2} + 2 a - 4$ 有最小值 $- 5$ ，
根据以上材料，解决下列问题：

(1)、代数式 $a^{2} - 2 a + 2$ 的最小值为；

(2)、试比较 $a^{2} + b^{2} + 11$ 与 $6 a - 2 b$ 的大小关系，并说明理由；

(3)、如图，在直角坐标系中，点 $A (0, \frac{1}{2} a^{2} + a)$ 和点 $B (0, - 2 a - \frac{13}{2})$ 在 $y$ 轴上，点 $M$ 在 $x$ 轴负半轴上， $S_{Δ A B M} = 2$ ，当线段 $O M$ 最长时，求点 $M$ 的坐标．

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17、上数学课时，王老师在讲完乘法公式 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 $x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解： $x^{2} + 4 x + 5 = x^{2} + 4 x + 4 + 1 = (x + 2)^{2} + 1$ ．
$∵ (x + 2)^{2} \geq 0$ ，
$∴$ 当 $x = - 2$ 时， $(x + 2)^{2}$ 的值最小，最小值是0．
$∴ (x + 2)^{2} + 1 \geq 1$ ．
$∴$ 当 $x = - 2$ 时， $x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：

(1)、知识再现：当 $x =$ 时，代数式 $x^{2} - 6 x + 12$ 的最小值是；

(2)、知识运用：若 $y = - x^{2} + 2 x - 3$ ，当 $x =$ 时， $y$ 有最值（填“大”或“小”），这个值是；

(3)、知识拓展：若 $- x^{2} + 3 x + y + 5 = 0$ ，求 $y + x$ 的最小值．

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18、某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱，如果要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价 $x$ 元，则可列方程为.

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19、某景点的门票价格为220元，日接待游客5000人．当门票价格每提高10元，日游客数减少50人．若想每天的门票收入达到138万元，问门票价格需提高多少元？设门票价格提高 $x$ 元，则可列方程为（　　）

A、 $(220 + x) (5000 - 5 x) = 1380000$ B、 $(220 + x) (5000 - 5 x) = 138$ C、 $(220 + x) (5000 - 50 x) = 138$ D、 $(220 + x) (5000 - 50 x) = 1380000$

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20、某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为 $800 k g$ ，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到 $1352 k g$ ．

(1)、若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率．

(2)、已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少 $0.1$ 万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？

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