相关试卷

1、计算：

(1)、 $6 {tan}^{2} 30 ° - \sqrt{3} sin 60 ° - 2 sin 45 °$ ；

(2)、 ${(π - 2025)}^{0} + \sqrt{8} - 2 \cos 45 ° + |1 - \sqrt{2}|$ ；

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2、已知 $x = 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - m = 0$ 的根，则 $m =$ ．

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3、已知 $3 x = 4 y (y \neq 0)$ ，则 $\frac{x}{y} =$ ．

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4、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ ， $B$ 分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形 $O A C B$ 是矩形，函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象与边 $A C$ 交于点 $M$ ，与边 $B C$ 交于点 $N$ （ $M$ ， $N$ 不重合）．给出下面四个结论：
① $△ C O M$ 与 $△ C O N$ 的面积一定相等；
② $△ M O N$ 与 $△ M C N$ 的面积可能相等；
③ $△ M O N$ 一定是锐角三角形；
④ $△ M O N$ 可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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5、如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为 $60 °$ ，然后向后走160米（ $B C = 160$ 米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为 $30 °$ ，则该主塔的高度是（　　）米．

A、160 B、 $60 \sqrt{3}$ C、200 D、 $80 \sqrt{3}$

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6、钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率 $f (Hz)$ 是琴弦张力 $T (N)$ 的反比例函数．已知当张力 $T = 200 N$ 时，频率 $f = 220 Hz$ （即达到标准音高 $A 3$ ）．若要使频率升高到 $440 Hz$ （即达到标准音高 $A 4$ ），以下调整张力正确的是（）

A、增大至 $150N$ B、减小至 $150N$ C、增大至 $100N$ D、减小至 $100N$

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7、综合与实践
【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系．
【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线 $A E B$ 和矩形 $A B C D$ 构成（如图1所示），抛物线最高点 $E$ 到地面的距离为5米， $O$ 为 $C D$ 中点，以 $C D$ 所在直线为 $x$ 轴，垂直于 $C D$ 的直线 $E O$ 为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系 $x O y$ ，已知 $C D = 6$ 米， $B C = 2$ 米．
（1）求抛物线的表达式；
【应用模型】
（2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架， $M N$ ， $P Q$ 垂直地面， $N Q$ 平行地面，点 $N$ ， $Q$ 在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？
（3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线 $A E B$ 内部建两个正方形的窗户，（正方形 $M N K P$ 的边 $N K$ 和正方形 $Q R S T$ 的边 $R S$ 都在 $A B$ 上，点 $M$ ， $T$ 都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米 $^{2}$ ，参考数据： $\sqrt{41} \approx 6.4$ ， $\sqrt{51} \approx 7.1$ ， $\sqrt{61} \approx 7.8$ ）

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8、为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD=32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为60°，（如图）．已知C、D、B三点在同一水平直线上，且CD=400米，DB=200米．
（1）求大厦DE的高度；
（2）求平安金融中心AB的高度．
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62， $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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9、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是弦， $D$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点， $C D$ 与 $A B$ 交于点 $E$ ． $F$ 是 $A B$ 延长线上的一点，且 $C F = E F$ ．

(1)、求证： $C F$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C F = 4$ ， $B F = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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10、学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数 $y$ 与上课时间 $x$ （分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数 $y$ 与时间 $x$ 的关系式为 $y = 5 x + 30$ .10分钟以后注意力指数 $y$ 是时间 $x$ 的反比例函数．

(1)、求10分钟以后 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？

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11、如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 2, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、将抛物线配方成顶点式为___________．

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12、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边 $A D ⊥ y$ 轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5， $B E = 2 D E$ ，则k的值为．

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13、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $⊙ O$ 的半径 $R = 2$ ， $s i n B = \frac{3}{4}$ ，则弦 $A C$ 的长为．

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14、小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到 $∠ A O B = 150 °$ ， $O A = 6 cm$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为．
小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，

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15、数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径、小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 $A$ ， $B$ ，连接 $A B$ ，作 $A B$ 的垂直平分线 $C D$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点 $C$ ，测出 $A B = 40 cm$ ， $C D = 10 cm$ ，则该圆形工件的半径为（）

A、 $50 cm$ B、 $40 cm$ C、 $25 cm$ D、 $20 cm$

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16、如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，若 $∠ B = 60 °$ ， $∠ A C D = 38 °$ ，则 $∠ D A C$ 的度数为（）

A、 $44 °$ B、 $34 °$ C、 $30 °$ D、 $22 °$

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17、如图，一次函数 $y_{1} = a x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (- 2, 3)$ ， $B (3, - 2)$ ，则不等式 $a x + b < \frac{k}{x}$ 的解集是（）

A、 $- 2 < x < 0$ 或 $0 < x < 3$ B、 $x < - 2$ 或 $0 < x < 3$ C、 $- 2 < x < 0$ 或 $x > 3$ D、 $x < - 2$ 或 $x > 3$

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18、下列各式中， $y$ 一定是 $x$ 的反比例函数的是（）

A、 $y = 2 x^{- 1}$ B、 $y = \frac{2 x}{3}$ C、 $y = \frac{k}{x}$ D、 $y = - x^{2}$

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19、如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 经过点A，点C，且交x轴于另一点B．

（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线 $A C$ 上方的抛物线上有一点M，求四边形 $A B C M$ 面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段 $O A$ 绕x轴上的动点 $P (m, 0)$ 顺时针旋转90°得到线段 $O^{'} A^{'}$ ，若线段 $O^{'} A^{'}$ 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．

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20、如图，四边形 $A B C D$ 内接于圆， $∠ A B C = 60 °$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A D C$ ．
（1）求证： $△ A B C$ 是等边三角形；
（2）过点 $B$ 作 $B E // C D$ 交 $D A$ 的延长线于点 $E$ ，若 $A D = 2 ， D C = 3$ ，求 $△ B D E$ 的面积．

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