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1、按要求完成以下问题

(1)、如图①， $A B ∥ C D$ ， $∠ A B D$ 与 $∠ C D B$ 的角平分线相交于点P，求 $∠ P$ 的大小；

(2)、如图②， $A B ∥ C D$ ，点E，F在直线 $A B, C D$ 之间，小明认为 $∠ A B E + ∠ E F D + ∠ F D C = ∠ B E F + 180 °$ ，你能帮他说出理由吗？

(3)、如图 $③$ ， $A B ∥ C D$ ， $∠ E = α$ ， $∠ F = β$ ， $∠ G = γ$ ， $∠ A B E$ 与 $∠ C D G$ 的角平分线相交于点P，则 $∠ P =$ ；（用α，β，γ的代数式表示）

(4)、结合（3）的探索经验，对这一模型进行一般化研究．若 $A B ∥ C D$ ，在平行线 $A B$ 与 $C D$ 之间有 $∠ E_{1}$ ， $∠ E_{2}$ ， $∠ E_{3}$ ， $∠ E_{4}$ ， …， $∠ E_{n}$ ， $∠ A B E_{1}$ 与 $∠ C D E_{n}$ 的角平分线相交于点P，则 $∠ P =$ _____；（用含 $∠ E_{1}$ ， $∠ E_{2}$ ， $∠ E_{3}$ ， $∠ E_{4}$ ， …， $∠ E_{n}$ 的代数式表示）

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2、已知长方形 $A B C D$ ， $A B = a$ ， $B C = 4 b$ ，将图1沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图2中的“回字形”正方形．

(1)、观察图2，请你写出 ${(a + b)}^{2}$ 、 ${(a - b)}^{2}$ 、 $a b$ 之间的等量关系是_____；

(2)、根据（1）中的结论，若 $x + y = 6$ ， $x y = \frac{11}{4}$ ，求 $x - y$ 的值；

(3)、拓展应用：如图3，点M，Q分别是 $A D$ ， $B C$ 的中点，点E在 $A B$ 上， $B E = b$ ，以 $A E$ 为边作正方形 $A E F G$ ，点G在 $A D$ 上， $E F$ 交 $M Q$ 于点N，长方形 $M N F G$ 的面积为 $6 b^{2}$ ，若 $M N + N F = c$ ，求 $\frac{c^{2}}{b^{2}}$ 的值．

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3、已知：整式 $A = 2 t + 3$ ， $B = 2 t - 3$ ， $t$ 为任意有理数．

(1)、 $A \cdot B + 10$ 的值可能为负数吗？请说明理由；

(2)、请通过计算说明：当 $t$ 是整数时， $A^{2} - B^{2}$ 的值一定能被 $24$ 整除．

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4、如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手 $A B$ 与底座 $C D$ 都平行于地面 $E F$ ，靠背 $D M$ 与支架 $O E$ 平行，前支架 $O E$ 与后支架 $O F$ 分别与 $C D$ 交于点G和点D． $A B$ 与 $D M$ 交于点N，当前支架 $O E$ 与后支架 $O F$ 正好垂直， $∠ O D C = 32 °$ 时，人躺着最舒服，求此时扶手 $A B$ 与靠背 $D M$ 的夹角 $∠ A N M$ 的度数．读懂下面的推理过程，并填空．
解：∵ $O E ⊥ O F$ ，（已知）
∴ $∠ E O F = 90 °$ ．（                    ）
∵        $∥$ ____，（已知）
∴_____ $= ∠ E O F = 90 °$ ，（       ）
又∵ $∠ O D C = 32 °$ ，
∴ $∠ C D M = ∠ O D C + ∠ O D M = 32 ° + 90 ° = 122 °$ ．
∵ $A B ∥ E F$ ， $C D ∥ E F$ ，（已知）
∴ $A B$ $∥$ _____．（                                 ）
∴ $∠ A N M =$ _____ $= 122 °$ ．（                                 ）

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5、如图，已知 $△ A B C ≌ △ F D E$ ，点C和点E，点A和点F是对应顶点， $A D = 2$ ， $B D = 3$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ E = 55 °$ ，求 $F D$ 的长，以及 $∠ C$ ， $∠ F D E$ 的度数．

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6、先化简，再求值： ${(y + 2 x)}^{2} - (2 y + x) (2 y - x) - 4 x y$ ，其中 $x = 1, y = 2$ ．

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7、计算： ${(- 1)}^{2024} - |- \frac{3}{2}| + {(- 2)}^{- 1} + π^{0}$

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8、如图，将长方形纸条折叠，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2 =$ °．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中，AD是BC边上的中线， $△ A D C$ 的周长比 $△ A B D$ 的周长多5cm，若 $A B = 13$ cm，则AC的长为cm．

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10、已知m，n是正整数，且满足 $3^{m} \cdot 3^{m} \cdot 3^{m} = 3^{n}$ ，则m与n的关系是．

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11、如图，△ACB≌△A^'CB^' ， ∠BCB^'=30°，则∠ACA^'的度数为°．

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12、下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知 $α$ 与 $β$ 互为余角，若 $α = 20 °$ ，则 $β$ 的补角的大小为（）

A、 $70 °$ B、 $110 °$ C、 $140 °$ D、 $160 °$

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15、确定了“ $DeepSeek$ ”“豆包”“ $Kimi$ ”三个主题，小红随机选择其中一个主题，她恰好选中“ $DeepSeek$ ”的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、下列英文大写字母中，不含有同旁内角的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、数据0.000000028用科学记数法表示为（）

A、 $0.28 \times 10^{- 9}$ B、 $2.8 \times 10^{- 8}$ C、 $28 \times 10^{- 8}$ D、 $2.8 \times 10^{- 7}$

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18、下列各运算中，计算正确的是（）

A、 $m^{6} + m^{3} = m^{2}$ B、 ${(2 m^{2})}^{3} = 6 m^{6}$ C、 ${(m + n)}^{2} = m^{2} + n^{2}$ D、 ${(- m)}^{3} - m^{3} = - 2 m^{3}$

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19、如图，P是正方形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一个动点，线段 $A E$ 与 $A D$ 关于射线 $A P$ 对称，连接 $E B$ 并延长交射线 $A P$ 于点F，连接 $C F$ ．

(1)、如图1，若 $∠ B A P = 20 °$ ，则 $∠ A F E =$ ______ $°$ ；

(2)、如图2， $△ A E F$ 能否为等腰三角形？如果能，求此时 $∠ B A F$ 的度数；如果不能，请说明理由；

(3)、如图2，用等式表示线段 $F A$ ， $F C$ ， $A D$ 之间的数量关系，并证明．

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20、若正整数 $a$ ， $b$ ， $c$ （ $a < b < c$ ）满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则称 $a$ ， $b$ ， $c$ 为一组勾股数．

(1)、观察提供的4组勾股数的规律，完成第②组勾股数：
① $3$ ， $4$ ， $5$ ；②5，______，______；③ $7$ ， $24$ ， $25$ ；④ $9$ ， $40$ ， $41$ ；⑤ $11$ ， $60$ ， $61$ ；

(2)、毕达哥拉斯学派曾提出 $a = 2 n + 1$ ， $b = 2 n^{2} + 2 n$ ， $c = 2 n^{2} + 2 n + 1$ （n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上式子的 $a$ ， $b$ ， $c$ 是一组勾股数；

(3)、直角三角形 $A B C$ 三条边长 $a$ ， $b$ ， $c$ （ $a < b < c$ ）是勾股数，且周长的值是面积值的 $k$ 倍（ $k$ 为正整数），求 $k$ 的值和这个三角形的三边长度．

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